Um conjunto cilindro-pistão contém 1 kg de metano a 100 kPa e 20^circ C. O gás, então, é comprimido reversivelmente até a pressāo atingir 800 kPa . Calcule o trabalho necessário para realizar essa operação admitindo que o processo seja adiabático.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um cilindro com pistão contendo 1 kg de metano a uma pressão de 100 kPa e uma temperatura de 20°C. Esse gás vai ser comprimido de forma reversível até a pressão chegar a 800 kPa, e queremos descobrir quanto trabalho é necessário para fazer isso, assumindo que o processo é adiabático (ou seja, sem troca de calor com o ambiente).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e trabalho em transformações de gases ideais. Vamos passo a passo para entender bem cada parte.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um processo adiabático. Num processo adiabático, não há troca de calor entre o sistema (nesse caso, o gás metano) e o ambiente. Isso simplifica as equações porque a variação de calor $ Q $ é zero.

Passo 3

Vamos lembrar que o trabalho realizado numa compressão adiabática reversível para um gás ideal pode ser calculado pela fórmula:
W = P2 V2 - P1 V11 - gamma
Aqui:
  • $ W $ é o trabalho realizado,
  • $ P_1 $ e $ V_1 $ são a pressão e o volume iniciais,
  • $ P_2 $ e $ V_2 $ são a pressão e o volume finais,
  • $ \gamma $ é a razão dos calores específicos $ C_p/C_v $.

Passo 4

Precisamos encontrar o volume inicial $ V_1 $ e, para isso, vamos usar a equação dos gases ideais:
V1
Onde:
  • $ m $ é a massa do gás (1 kg),
  • $ R $ é a constante específica do gás (metano),
  • $ T_1 $ é a temperatura inicial em Kelvin.

Passo 5

Vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin:
T1 = 20°C + 273,15 = 293,15 , K

Passo 6

Agora, precisamos do valor de $ R $ para o metano. A constante específica $ R $ do metano é aproximadamente 518 J/kg·K.

Passo 7

Vamos calcular o volume inicial $ V_1 $:
V1

Passo 8

Para um processo adiabático, sabemos que:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Podemos rearranjar para encontrar $ V_2 $:
V2

Passo 9

Precisamos do valor de $ \gamma $ para o metano. Para gases diatômicos como o metano, $ \gamma $ é aproximadamente 1,3.

Passo 10

Agora, vamos calcular $ V_2 $:
V2

Passo 11

Finalmente, vamos calcular o trabalho $ W $:
W
W = 800 times 10^3 times 0,422 - 100 times 10^3 times 1,5171 - 1,3 = 337600 - 151700-0,3
O sinal negativo indica que o trabalho está sendo realizado sobre o sistema (compressão).

Resposta

O trabalho necessário para comprimir reversivelmente 1 kg de metano de 100 kPa a 800 kPa, em um processo adiabático, é aproximadamente -620.000 J (julhos). Isso significa que 620.000 J de energia são fornecidos ao sistema para realizar a compressão.

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