O conjunto de dados abaixo representa a preferencia de um grupo de atletas pelas marcas de chuteiras os diversos números significam as diversas marcas ou fabricantes, construa uma variável aleatória X associada a esses dados, determine sua f.d.p, sua f.d.a, sua esperança E[X], e sua variância Var[X].
X=11122233333445566677

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir uma variável aleatória $ X $ com base nas preferências de marcas de chuteiras de um grupo de atletas. Vamos precisar entender sobre funções de probabilidade, funções de distribuição acumulada, esperança matemática e variância. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que $ X $ pode assumir e quantas vezes cada valor aparece nos dados. Olhando para o conjunto $ X = {1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5,5,6,6,6,7,7} $, vemos que:
  • 1 aparece 3 vezes
  • 2 aparece 3 vezes
  • 3 aparece 5 vezes
  • 4 aparece 2 vezes
  • 5 aparece 2 vezes
  • 6 aparece 3 vezes
  • 7 aparece 2 vezes

Passo 3

Agora, vamos calcular a função de probabilidade (f.d.p). Isso significa determinar a probabilidade de cada valor de $ X $ ocorrer. Como temos um total de 20 dados, a probabilidade de cada valor é a frequência dele dividido por 20.
X ú
Vamos calcular:
  • $ P(X=1) = \frac{3}{20} = 0,15 $
  • $ P(X=2) = \frac{3}{20} = 0,15 $
  • $ P(X=3) = \frac{5}{20} = 0,25 $
  • $ P(X=4) = \frac{2}{20} = 0,10 $
  • $ P(X=5) = \frac{2}{20} = 0,10 $
  • $ P(X=6) = \frac{3}{20} = 0,15 $
  • $ P(X=7) = \frac{2}{20} = 0,10 $

Passo 4

Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (f.d.a). Essa função nos mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Para isso, vamos somar as probabilidades dos valores anteriores.
X
Vamos calcular passo a passo:
  • $ F(X \leq 1) = P(X=1) = 0,15 $
  • $ F(X \leq 2) = 0,15 + 0,15 = 0,30 $
  • $ F(X \leq 3) = 0,30 + 0,25 = 0,55 $
  • $ F(X \leq 4) = 0,55 + 0,10 = 0,65 $
  • $ F(X \leq 5) = 0,65 + 0,10 = 0,75 $
  • $ F(X \leq 6) = 0,75 + 0,15 = 0,90 $
  • $ F(X \leq 7) = 0,90 + 0,10 = 1,00 $

Passo 5

Vamos agora calcular a esperança matemática $ E[X] $. Isso representa o valor médio esperado da variável aleatória. A fórmula é:
E[X]
Calculando:
E[X] = sumx x cdot P(X = x)
E[X] = (1 cdot 0,15) + (2 cdot 0,15) + (3 cdot 0,25) + (4 cdot 0,10) + (5 cdot 0,10) + (6 cdot 0,15) + (7 cdot 0,10)

Passo 6

Por último, vamos encontrar a variância $ \operatorname{Var}[X] $, que mede a dispersão dos valores em relação à média. A fórmula é:
Var[X]
Primeiro, calculamos $ E[X^2] $:
Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2
Calculando:
E[X^2]
E[X^2] = sumx x^2 cdot P(X = x)
E[X^2] = (1^2 cdot 0,15) + (2^2 cdot 0,15) + (3^2 cdot 0,25) + (4^2 cdot 0,10) + (5^2 cdot 0,10) + (6^2 cdot 0,15) + (7^2 cdot 0,10)
Agora, usamos a fórmula da variância:
E[X^2] = (1 cdot 0,15) + (4 cdot 0,15) + (9 cdot 0,25) + (16 cdot 0,10) + (25 cdot 0,10) + (36 cdot 0,15) + (49 cdot 0,10)

Resposta

A variável aleatória $ X $ tem a seguinte função de probabilidade:
X
Sua função de distribuição acumulada é:
c|c x & P(X=x) hline 1 & 0,15 2 & 0,15 3 & 0,25 4 & 0,10 5 & 0,10 6 & 0,15 7 & 0,10
A esperança $ E[X] $ é 3,70 e a variância $ \operatorname{Var}[X] $ é 2,71.

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