O conjunto de dados abaixo representa a preferencia de um grupo de atletas pelas marcas de chuteiras os diversos números significam as diversas marcas ou fabricantes, construa uma variável aleatória X associada a esses dados, determine sua f.d.p, sua f.d.a, sua esperança
, e sua variância
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir uma variável aleatória $ X $ com base nas preferências de marcas de chuteiras de um grupo de atletas. Vamos precisar entender sobre funções de probabilidade, funções de distribuição acumulada, esperança matemática e variância. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que $ X $ pode assumir e quantas vezes cada valor aparece nos dados. Olhando para o conjunto $ X = {1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5,5,6,6,6,7,7} $, vemos que:
- 1 aparece 3 vezes
- 2 aparece 3 vezes
- 3 aparece 5 vezes
- 4 aparece 2 vezes
- 5 aparece 2 vezes
- 6 aparece 3 vezes
- 7 aparece 2 vezes
Passo 3
Agora, vamos calcular a função de probabilidade (f.d.p). Isso significa determinar a probabilidade de cada valor de $ X $ ocorrer. Como temos um total de 20 dados, a probabilidade de cada valor é a frequência dele dividido por 20.
Vamos calcular:
- $ P(X=1) = \frac{3}{20} = 0,15 $
- $ P(X=2) = \frac{3}{20} = 0,15 $
- $ P(X=3) = \frac{5}{20} = 0,25 $
- $ P(X=4) = \frac{2}{20} = 0,10 $
- $ P(X=5) = \frac{2}{20} = 0,10 $
- $ P(X=6) = \frac{3}{20} = 0,15 $
- $ P(X=7) = \frac{2}{20} = 0,10 $
Passo 4
Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (f.d.a). Essa função nos mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Para isso, vamos somar as probabilidades dos valores anteriores.
Vamos calcular passo a passo:
- $ F(X \leq 1) = P(X=1) = 0,15 $
- $ F(X \leq 2) = 0,15 + 0,15 = 0,30 $
- $ F(X \leq 3) = 0,30 + 0,25 = 0,55 $
- $ F(X \leq 4) = 0,55 + 0,10 = 0,65 $
- $ F(X \leq 5) = 0,65 + 0,10 = 0,75 $
- $ F(X \leq 6) = 0,75 + 0,15 = 0,90 $
- $ F(X \leq 7) = 0,90 + 0,10 = 1,00 $
Passo 5
Vamos agora calcular a esperança matemática $ E[X] $. Isso representa o valor médio esperado da variável aleatória. A fórmula é:
Calculando:
Passo 6
Por último, vamos encontrar a variância $ \operatorname{Var}[X] $, que mede a dispersão dos valores em relação à média. A fórmula é:
Primeiro, calculamos $ E[X^2] $:
Calculando:
Agora, usamos a fórmula da variância:
Resposta
A variável aleatória $ X $ tem a seguinte função de probabilidade:
Sua função de distribuição acumulada é:
A esperança $ E[X] $ é 3,70 e a variância $ \operatorname{Var}[X] $ é 2,71.