Para qual valor de c a função f definida abaixo é uma f.d.p.? f(x)=ccc alpha^x, & se x=0,1,2,3, ldots,(0á, determine a f.d.a. correspondente a f.d.p encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de $ c $ que faz a função $ f(x) $ ser uma função de distribuição de probabilidade (f.d.p.). A função dada é:
c á
Para isso, vamos usar os conceitos de f.d.p. e garantir que todas as probabilidades somem 1. Depois, vamos determinar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de distribuição de probabilidade precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. Soma total igual a 1: A soma de todas as probabilidades $ f(x) $ deve ser igual a 1.
Nossa função $ f(x) $ já está definida para $ x = 0,1,2,3,··· $ e $ f(x) = 0 $ caso contrário. Como $ c $ e $ \alpha $ são positivos e $ 0 < \alpha < 1 $, a condição de não-negatividade já está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos garantir que a soma das probabilidades seja igual a 1. Ou seja:
sumx=0^infty f(x) = 1
Substituindo $ f(x) $:
f(x)

Passo 4

Ficamos com a soma de uma série geométrica. Sabemos que:
sumx=0^infty alpha^x = 11 - alpha, para 0 < alpha < 1
Portanto:
c sumx=0^infty alpha^x = c cdot 11 - alpha = 1

Passo 5

Agora, isolamos $ c $:
c
Então, o valor de $ c $ que faz $ f(x) $ ser uma f.d.p. é $ c = 1 - \alpha $.

Passo 6

Com $ c $ encontrado, podemos reescrever a função $ f(x) $:
c á

Passo 7

Agora, vamos determinar a função de distribuição acumulada (f.d.a.), que é a soma das probabilidades até um certo ponto $ x $. A f.d.a. $ F(x) $ é dada por:
x

Passo 8

Essa soma também é uma série geométrica finita. A soma de uma série geométrica finita é:
sumk=0^x alpha^k = 1 - alpha^x+11 - alpha
Portanto:
F(x) = (1 - alpha) cdot 1 - alpha^x+11 - alpha = 1 - alpha^x+1

Resposta

O valor de $ c $ que faz $ f(x) $ ser uma f.d.p. é $ c = 1 - \alpha $. A função de distribuição acumulada (f.d.a.) correspondente é:
c

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