Para qual valor de
a função
definida abaixo é uma f.d.p.?
, determine a f.d.a. correspondente a f.d.p encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de $ c $ que faz a função $ f(x) $ ser uma função de distribuição de probabilidade (f.d.p.). A função dada é:
Para isso, vamos usar os conceitos de f.d.p. e garantir que todas as probabilidades somem 1. Depois, vamos determinar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de distribuição de probabilidade precisa satisfazer duas condições principais:
- Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
- Soma total igual a 1: A soma de todas as probabilidades $ f(x) $ deve ser igual a 1.
Nossa função $ f(x) $ já está definida para $ x = 0,1,2,3,··· $ e $ f(x) = 0 $ caso contrário. Como $ c $ e $ \alpha $ são positivos e $ 0 < \alpha < 1 $, a condição de não-negatividade já está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a soma das probabilidades seja igual a 1. Ou seja:
Substituindo $ f(x) $:
Passo 4
Ficamos com a soma de uma série geométrica. Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, isolamos $ c $:
Então, o valor de $ c $ que faz $ f(x) $ ser uma f.d.p. é $ c = 1 - \alpha $.
Passo 6
Com $ c $ encontrado, podemos reescrever a função $ f(x) $:
Passo 7
Agora, vamos determinar a função de distribuição acumulada (f.d.a.), que é a soma das probabilidades até um certo ponto $ x $. A f.d.a. $ F(x) $ é dada por:
Passo 8
Essa soma também é uma série geométrica finita. A soma de uma série geométrica finita é:
Portanto:
Resposta
O valor de $ c $ que faz $ f(x) $ ser uma f.d.p. é $ c = 1 - \alpha $. A função de distribuição acumulada (f.d.a.) correspondente é: