Se X tem distribuição Triangular calcule E[X], sigma^2(X). Uma variável aleatória X tem distribuição Triangular com parâmetros, alpha, beta e gamma. Se sua f.d.p. é dada por:
fX(x)= 2(x-alpha)(beta-alpha)(gamma-alpha), & se alpha <= xá

Passo 1

Então, a gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Triangular, com os parâmetros $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $. O exercício pede para calcularmos o valor esperado $ E[X] $ e a variância $ \sigma^{2}(X) $ dessa distribuição. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição Triangular e usar as fórmulas de valor esperado e variância para ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado $ E[X] $. Ele é, basicamente, a média de todos os possíveis valores que a variável $ X $ pode assumir, ponderada pela probabilidade de cada valor. Para a distribuição Triangular, a fórmula do valor esperado é:
E[X]
Ou seja, a média é simplesmente a média aritmética dos três parâmetros que definem a distribuição Triangular.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ E[X] $ usando a fórmula acima. Basta somar $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $ e dividir por 3.
E[X]

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância $ \sigma^{2}(X) $. A variância nos diz o quanto os valores de $ X $ estão dispersos em relação ao valor esperado. Para a distribuição Triangular, a fórmula da variância é:
sigma^2(X)
Essa fórmula leva em conta os quadrados dos parâmetros e seus produtos para medir a dispersão dos valores.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar $ \sigma^{2}(X) $:
sigma^2(X)

Resposta

Portanto, para uma variável aleatória $ X $ com distribuição Triangular:
X
e
E[X] = alpha + beta + gamma3

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