Considere a função
- Observe que a fdp da exponencial é um caso especial de Weibull, especifique os valores dos parâmetros para os quais isso acontece;
- Calcule a f.d.a correspondente de
e a função de confiabilidade
;
- Além disso, calcule a taxa de falha (ou perigo)
, e desenhe seu gráfico para
e
;
- Para
, calcule a probabilidade
onde
é uma v.a. tendo a distribuição Weibull;
- O que significam as quantidades
e a probabilidade na parte (iii) para o caso especial da Exponencial distribuição?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função de densidade de probabilidade (fdp) da distribuição Weibull, que é uma generalização da distribuição Exponencial. Vamos precisar entender como a Exponencial é um caso especial da Weibull, calcular a função de distribuição acumulada (f.d.a), a função de confiabilidade, a taxa de falha, além de analisar probabilidades condicionais e interpretar tudo isso no contexto da distribuição Exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quando a distribuição Weibull se torna uma distribuição Exponencial. A fdp da Weibull é dada por:
A fdp da Exponencial é:
Para que as duas sejam iguais, precisamos ajustar os parâmetros α e β da Weibull. Observando as duas fórmulas, vemos que isso ocorre quando β = 1. Assim, quando β = 1, a Weibull se torna uma Exponencial com λ = α.
Passo 3
Agora, vamos calcular a função de distribuição acumulada (f.d.a) F(x) da Weibull. A f.d.a é a integral da fdp de 0 até x:
Isso significa que a probabilidade de a variável aleatória X ser menor ou igual a x é 1 menos o exponencial de -αx^β.
Passo 4
A função de confiabilidade R(x) é simplesmente 1 menos a f.d.a:
Essa função representa a probabilidade de X ser maior que x, ou seja, a confiabilidade do sistema até o tempo x.
Passo 5
Vamos calcular a taxa de falha, também conhecida como função de perigo, que é dada por:
Essa função nos mostra a taxa na qual os eventos de falha estão ocorrendo no tempo x, dado que não falharam até x.
Passo 6
Agora, vamos desenhar o gráfico da taxa de falha H(x) para α = 1 e β = 1/2, 1, 2. Substituindo os valores:
- Para β = 1/2:
- Para β = 1:
- Para β = 2:
O gráfico mostrará que, para β = 1/2, a taxa de falha diminui com o tempo; para β = 1, a taxa de falha é constante; e para β = 2, a taxa de falha aumenta com o tempo.
Passo 7
Vamos calcular a probabilidade condicional $ P(X > s + t \mid X > t) $ para s, t > 0. Usando a função de confiabilidade:
Isso nos dá a probabilidade de a falha ocorrer após s + t, dado que já passou do tempo t sem falhar.
Passo 8
Por fim, vamos entender o que significam F(x), R(x), H(x) e a probabilidade condicional para o caso especial da distribuição Exponencial:
- $ F(x) $ é a função de distribuição acumulada, representando a probabilidade de falha até o tempo x.
- $ R(x) $ é a função de confiabilidade, indicando a probabilidade de o sistema funcionar além do tempo x sem falhar.
- $ H(x) $ é a taxa de falha, que para a distribuição Exponencial é constante, significando que a taxa de falha não depende do tempo.
- A probabilidade $ P(X > s + t \mid X > t) $ na Exponencial simplifica para $ P(X > s) $, ilustrando a propriedade de falta de memória, onde o futuro da distribuição não depende do passado.
Resposta
Resolvido conforme os passos acima, com as explicações detalhadas para cada parte do exercício.