Considere a função
f(x)=alpha beta x^beta-1 e^-alpha x^beta, x>0,(alpha, beta>0)
  • Observe que a fdp da exponencial é um caso especial de Weibull, especifique os valores dos parâmetros para os quais isso acontece;
  • Calcule a f.d.a correspondente de F e a função de confiabilidade R(x)=1-F(x);
  • Além disso, calcule a taxa de falha (ou perigo) H(x)=f(x)R(x), e desenhe seu gráfico para alpha=1 e beta=12, 1,2;
  • Para s, t>0, calcule a probabilidade P(X>s+t mid X>t) onde X é uma v.a. tendo a distribuição Weibull;
  • O que significam as quantidades F(x), R(x), H(x) e a probabilidade na parte (iii) para o caso especial da Exponencial distribuição?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a função de densidade de probabilidade (fdp) da distribuição Weibull, que é uma generalização da distribuição Exponencial. Vamos precisar entender como a Exponencial é um caso especial da Weibull, calcular a função de distribuição acumulada (f.d.a), a função de confiabilidade, a taxa de falha, além de analisar probabilidades condicionais e interpretar tudo isso no contexto da distribuição Exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quando a distribuição Weibull se torna uma distribuição Exponencial. A fdp da Weibull é dada por:
f(x) = alpha beta x^beta-1 e^-alpha x^beta, x > 0
A fdp da Exponencial é:
fExp(x) = lambda e^-lambda x, x > 0
Para que as duas sejam iguais, precisamos ajustar os parâmetros α e β da Weibull. Observando as duas fórmulas, vemos que isso ocorre quando β = 1. Assim, quando β = 1, a Weibull se torna uma Exponencial com λ = α.

Passo 3

Agora, vamos calcular a função de distribuição acumulada (f.d.a) F(x) da Weibull. A f.d.a é a integral da fdp de 0 até x:
F(x) = integral0^x f(t) , dt = 1 - e^-alpha x^beta
Isso significa que a probabilidade de a variável aleatória X ser menor ou igual a x é 1 menos o exponencial de -αx^β.

Passo 4

A função de confiabilidade R(x) é simplesmente 1 menos a f.d.a:
R(x) = 1 - F(x) = e^-alpha x^beta
Essa função representa a probabilidade de X ser maior que x, ou seja, a confiabilidade do sistema até o tempo x.

Passo 5

Vamos calcular a taxa de falha, também conhecida como função de perigo, que é dada por:
H(x) = f(x)R(x) = alpha beta x^beta-1 e^-alpha x^betae^-alpha x^beta = alpha beta x^beta-1
Essa função nos mostra a taxa na qual os eventos de falha estão ocorrendo no tempo x, dado que não falharam até x.

Passo 6

Agora, vamos desenhar o gráfico da taxa de falha H(x) para α = 1 e β = 1/2, 1, 2. Substituindo os valores:
  • Para β = 1/2:
H(x) = 1 cdot 12 x^-1/2 = 12 x^-1/2
  • Para β = 1:
H(x) = 1 cdot 1 cdot x^0 = 1
  • Para β = 2:
H(x) = 1 cdot 2 cdot x^1 = 2x
O gráfico mostrará que, para β = 1/2, a taxa de falha diminui com o tempo; para β = 1, a taxa de falha é constante; e para β = 2, a taxa de falha aumenta com o tempo.

Passo 7

Vamos calcular a probabilidade condicional $ P(X > s + t \mid X > t) $ para s, t > 0. Usando a função de confiabilidade:
P(X > s + t mid X > t)
Isso nos dá a probabilidade de a falha ocorrer após s + t, dado que já passou do tempo t sem falhar.

Passo 8

Por fim, vamos entender o que significam F(x), R(x), H(x) e a probabilidade condicional para o caso especial da distribuição Exponencial:
  • $ F(x) $ é a função de distribuição acumulada, representando a probabilidade de falha até o tempo x.
  • $ R(x) $ é a função de confiabilidade, indicando a probabilidade de o sistema funcionar além do tempo x sem falhar.
  • $ H(x) $ é a taxa de falha, que para a distribuição Exponencial é constante, significando que a taxa de falha não depende do tempo.
  • A probabilidade $ P(X > s + t \mid X > t) $ na Exponencial simplifica para $ P(X > s) $, ilustrando a propriedade de falta de memória, onde o futuro da distribuição não depende do passado.

Resposta

Resolvido conforme os passos acima, com as explicações detalhadas para cada parte do exercício.

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