Sejam
e
v.a.
Determine a constante c e calcule as seguintes probabilidades:
-
-
-
;
-
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, com uma função de densidade conjunta dada por $ f(x, y) = cxy $, onde $ 0 < x < 2 $ e $ 0 < y < 5 $. Nosso objetivo é primeiro encontrar o valor da constante $ c $ e depois calcular algumas probabilidades específicas usando essa função. Para isso, vamos precisar entender de funções de densidade conjunta e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante $ c $. Sabemos que a integral da função de densidade conjunta sobre todo o espaço deve ser igual a 1, porque a soma de todas as probabilidades possíveis tem que ser 1. Então, vamos integrar $ f(x, y) $ sobre os intervalos de $ x $ e $ y $:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Vamos integrar primeiro em relação a $ y $:
Agora, substituímos de volta na integral em relação a $ x $:
Então, igualando a 1:
Passo 4
Agora que sabemos que $ c = \frac{1}{25} $, podemos calcular as probabilidades solicitadas. Vamos começar com a primeira:
- $ P\left(\frac{1}{2} < X < 1, 0 < Y < 3\right) $
Para calcular essa probabilidade, vamos integrar a função de densidade conjunta $ f(x, y) = \frac{1}{25}xy $ sobre os intervalos $ \frac{1}{2} < x < 1 $ e $ 0 < y < 3 $:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Agora, integramos em relação a $ x $:
Passo 5
Vamos para a segunda probabilidade:
- $ P(X < 2, 2 < Y < 4) $
Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ ser menor que 2 e $ Y $ estar entre 2 e 4. Como $ X $ já está limitado entre 0 e 2, $ X < 2 $ cobre todo o intervalo de $ X $. Então, a integral fica:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Agora, integramos em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, a terceira probabilidade:
- $ P(1 < X < 2, Y > 5) $
Observamos que $ Y > 5 $ está fora do intervalo definido para $ Y $ (que é $ 0 < Y < 5 $). Portanto, não existe nenhuma probabilidade onde $ Y > 5 $ dentro do nosso espaço de amostragem.
Então,
Passo 7
Por fim, vamos calcular:
- $ P(X > Y) $
Queremos a probabilidade de $ X $ ser maior que $ Y $ dentro dos intervalos $ 0 < X < 2 $ e $ 0 < Y < 5 $. Para isso, vamos considerar a região onde $ x > y $. Porém, como $ X $ está limitado a 2 e $ Y $ a 5, vamos dividir a integração em partes.
Primeiro, sabemos que $ Y $ pode ir de 0 a 2, onde $ X $ pode ir de $ y $ a 2, e para $ Y $ de 2 a 5, $ X $ não pode ser maior que $ Y $ porque $ X \leq 2 $.
Então, a probabilidade é:
Primeiro, integramos em relação a $ x $:
Agora, integramos em relação a $ y $:
Resposta
A constante $ c $ vale $ \frac{1}{25} $. As probabilidades são:
- $ P\left(\frac{1}{2} < X < 1, 0 < Y < 3\right) = 0,0675 $
- $ P(X < 2, 2 < Y < 4) = 0,48 $
- $ P(1 < X < 2, Y > 5) = 0 $
- $ P(X > Y) = 0,08 $