Se
é um conjunto com
elementos. Quantas são as funções
bijetoras?
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto
que tem
elementos, e queremos descobrir quantas funções
são bijetoras. Isso está ligado ao estudo de funções bijetoras e permutação de conjuntos na matéria de combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora se ela é tanto injetora (cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um elemento único no conjunto de chegada) quanto sobrejetora (todo elemento do conjunto de chegada é atingido por algum elemento do conjunto de partida). No caso, como
tem
elementos e estamos mapeando
para
, uma função bijetora vai rearranjar todos os elementos de
sem repetir nenhum.
Passo 3
Agora, pensar nas funções bijetoras de
para
é o mesmo que pensar nas permutação dos elementos de
. Ou seja, estamos basicamente embaralhando os elementos de
de todas as maneiras possíveis sem deixar nenhum de fora.
Passo 4
Para calcular o número de permutações de um conjunto com
elementos, usamos o fatorial de
, representado por
. O fatorial de
é o produto de todos os números inteiros positivos até
:
Isso porque para o primeiro elemento temos
opções, para o segundo
, e assim por diante.
Resposta
O número de funções bijetoras
é
.