Se A é um conjunto com n elementos. Quantas são as funções f: A A bijetoras?

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto que tem elementos, e queremos descobrir quantas funções são bijetoras. Isso está ligado ao estudo de funções bijetoras e permutação de conjuntos na matéria de combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função bijetora. Uma função é bijetora se ela é tanto injetora (cada elemento do conjunto de partida é mapeado para um elemento único no conjunto de chegada) quanto sobrejetora (todo elemento do conjunto de chegada é atingido por algum elemento do conjunto de partida). No caso, como tem elementos e estamos mapeando para , uma função bijetora vai rearranjar todos os elementos de sem repetir nenhum.

Passo 3

Agora, pensar nas funções bijetoras de para é o mesmo que pensar nas permutação dos elementos de . Ou seja, estamos basicamente embaralhando os elementos de de todas as maneiras possíveis sem deixar nenhum de fora.

Passo 4

Para calcular o número de permutações de um conjunto com n! = n times (n-1) times (n-2) times dots times 1 elementos, usamos o fatorial de , representado por . O fatorial de é o produto de todos os números inteiros positivos até :
Isso porque para o primeiro elemento temos opções, para o segundo , e assim por diante.

Resposta

O número de funções bijetoras é .

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