Quantas são as permutações dos números (1,2, ldots, 10) nas quais o 8 está situado à direita do 2 e à esquerda do 3, embora não necessariamente em lugares consecutivos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os números de 1 a 10 e queremos saber de quantas maneiras podemos arranjá-los em uma sequência onde o número 8 fica à direita do 2 e à esquerda do 3, sem precisar estar em posições consecutivas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutações e probabilidades envolvendo a ordem específica dos elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma permutação é qualquer arranjo possível de todos os elementos de um conjunto. No nosso caso, temos 10 números, então o total de permutações possíveis é (10 fatorial), que calcula todas as maneiras de organizar esses 10 números.

Passo 3

Agora, queremos apenas as permutações onde o 8 está entre o 2 e o 3, ou seja, o 2 vem antes do 8 e o 8 vem antes do 3 na sequência. Para facilitar, vamos focar nos três números: 2, 8 e 3.
Existem (3 fatorial) maneiras de ordenar esses três números, que são 6. Destas, apenas uma sequência atende à condição específica: 2, 8, 3.

Passo 4

Isso significa que a probabilidade de, em qualquer permutação aleatória dos 10 números, os números 2, 8 e 3 estarem na ordem desejada é .

Passo 5

Para encontrar o número total de permutações que satisfazem essa condição, multiplicamos o total de permutações possíveis pelo fator de probabilidade que encontramos:
Número de permutações desejadas = 10!6 úçõ

Resposta

Portanto, o número de permutações dos números de 1 a 10 onde o 8 está à direita do 2 e à esquerda do 3 é:
10!6 = 604,!800

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