Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades:
  • n(A cup B cup C)=25;
  • n(A-C)=13;
  • n(B-A)=10;
  • n(A cap C)=n(C-(A cup B))
    O maior valor possível de n(C) é igual a:
    a) 9
    b) 10
    c) 11
    d) 12
    e) 13

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício. Temos três conjuntos , e dentro de um conjunto finito , e queremos descobrir o maior valor possível para o número de elementos em , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, como união, interseção e diferença de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  1. : O número total de elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos , ou é 25.
  2. : Existem 13 elementos que estão em mas não em .
  3. : Existem 10 elementos que estão em mas não em .
  4. : O número de elementos que estão tanto em quanto em é igual ao número de elementos que estão em mas não em nem em .

Passo 3

Vamos representar cada região dos conjuntos , e usando diagramas de Venn. Para facilitar, vamos definir:
  • : elementos apenas em .
  • : elementos apenas em .
  • : elementos apenas em .
  • : elementos em e , mas não em .
  • : elementos em e , mas não em .
  • : elementos em e , mas não em .
  • : elementos em , e .

Passo 4

Com essas definições, podemos escrever as seguintes equações com base nas informações fornecidas:
  1. (total de elementos em ).
  2. (elementos em que não estão em ).
  3. (elementos em que não estão em ).
  4. (pela condição ).

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o maior valor possível para n(C) = c + e + f + g , que é a soma de todos os elementos que estão em n(C) = c + c + f = 2c + f :
Usando a quarta equação ( ), podemos substituir:

Passo 6

Vamos resolver as equações para encontrar os valores de 13 + 10 + c + e + g = 25 e 23 + 2c = 25 :
Das equações 2 e 3 sabemos que:
  • 2c = 2
  • c = 1
Da equação 1, substituindo e :
Sabendo que :
Então:

Passo 7

Agora que sabemos que n(C) = 2c + f = 2(1) + f = 2 + f , podemos encontrar :
Lembrando que , pode ser no máximo 10 (quando ).

Passo 8

Para maximizar fmáx = 10 , queremos que n(C)máx = 2 + 10 = 12 seja o maior possível:
á
Portanto:
á

Resposta

12

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