Se
é um conjunto com um número finito de elementos,
representa o número de elementos do conjunto
. Considere os conjuntos
e
com as seguintes propriedades:
-
;
-
;
-
;
-
O maior valor possível de
é igual a:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
O maior valor possível de
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício. Temos três conjuntos
,
e
dentro de um conjunto finito
, e queremos descobrir o maior valor possível para o número de elementos em
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, como união, interseção e diferença de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
-
: O número total de elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos , ou é 25. -
: Existem 13 elementos que estão em mas não em . -
: Existem 10 elementos que estão em mas não em . -
: O número de elementos que estão tanto em quanto em é igual ao número de elementos que estão em mas não em nem em .
Passo 3
Vamos representar cada região dos conjuntos
,
e
usando diagramas de Venn. Para facilitar, vamos definir:
-
: elementos apenas em . -
: elementos apenas em . -
: elementos apenas em . -
: elementos em e , mas não em . -
: elementos em e , mas não em . -
: elementos em e , mas não em . -
: elementos em , e .
Passo 4
Com essas definições, podemos escrever as seguintes equações com base nas informações fornecidas:
-
(total de elementos em ). -
(elementos em que não estão em ). -
(elementos em que não estão em ). -
(pela condição ).
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar o maior valor possível para
, que é a soma de todos os elementos que estão em
:
Usando a quarta equação (
), podemos substituir:
Passo 6
Vamos resolver as equações para encontrar os valores de
e
:
Das equações 2 e 3 sabemos que:
Da equação 1, substituindo
e
:
Sabendo que
:
Então:
Passo 7
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
:
Lembrando que
,
pode ser no máximo 10 (quando
).
Passo 8
Para maximizar
, queremos que
seja o maior possível:
Portanto:
Resposta
12