Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
pode ser igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos: o conjunto
com
elementos e o conjunto
que tem um elemento a mais, ou seja,
elementos. Queremos descobrir se o número de subconjuntos de
(
) pode ser igual ao número de subconjuntos de
(
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o número de subconjuntos de um conjunto. Se um conjunto tem
elementos, ele tem
subconjuntos. Isso porque para cada elemento, podemos escolher incluí-lo ou não no subconjunto, o que dá duas opções por elemento.
Passo 3
Aplicando isso aos nossos conjuntos:
-
Para o conjunto
com elementos, o número de subconjuntos é: -
Para o conjunto
com elementos, o número de subconjuntos é:
Passo 4
Agora, queremos saber se
pode ser igual a
, ou seja:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Sabemos que
. Então, a equação fica:
Passo 6
Dividindo ambos os lados da equação por
(e lembrando que
nunca é zero), temos:
Passo 7
Isso não faz sentido matematicamente, já que 2 nunca é igual a 1. Portanto, não há nenhum valor de
que faça
equalizar
.
Resposta
Não existe nenhum valor de
que faça o número de subconjuntos de
ser igual ao de
.