Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se
, então
.
II. Se
, então
e
.
III. Se
, então
.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas II e III são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
apenas II e III são falsas.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três proposições envolvendo desigualdades com números reais
,
e
. Precisamos analisar cada uma delas para ver se são verdadeiras ou falsas. No final, a conclusão sugerida é que apenas as proposições II e III são falsas. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre propriedades de desigualdades e operações com números reais.
Passo 2
Vamos começar com a Proposição I:
Aqui, queremos saber se multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por
preserva a direção da desigualdade. A regra geral é:
- Se
: Multiplicar por mantém a direção da desigualdade. - Se
: Multiplicar por inverte a direção da desigualdade. - Se
: A desigualdade se torna , que é falsa.
Então, a proposição I não é sempre verdadeira. Depende do valor de
. Se
for positivo, a afirmação está correta. Mas se
for negativo ou zero, ela pode ser falsa.
Conclusão para I: A proposição I é falsa em geral, porque não especifica o valor de
.
Passo 3
Agora, vamos para a Proposição II:
Aqui, a afirmação está dizendo que se o produto de dois números é menor que 1, então cada número individualmente também é menor que 1. Vamos testar com um exemplo:
- Suponha que
e . Então, . - Mas
não é menor que 1, mesmo que seja menor que 1.
Conclusão para II: A proposição II é falsa, pois é possível que o produto seja menor que 1 mesmo que um dos números seja maior ou igual a 1.
Passo 4
Vamos analisar a Proposição III:
Aqui, a afirmação sugere que se um número é menor que outro, então seu quadrado também será menor. Porém, isso nem sempre é verdade. Vejamos com exemplos:
- Caso 1:
, . Aqui, e . Parece válido. - Caso 2:
, . Aqui, , mas .
Conclusão para III: A proposição III é falsa, pois quando lidamos com números negativos, o quadrado pode inverter a ordem da desigualdade.
Resposta
Após analisar as três proposições, concluímos que apenas as proposições II e III são falsas.
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Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
pode ser igual a
.
Numa universidade estudam, nos diversos cursos oferecidos, 1500 alunos. Destes, 35 cursam Engenharia Elétrica, 30 cursam Engenharia Civil e 8 cursam ambos os cursos. O número de estudantes da universidade que não estuda em nenhum dos dois cursos é:
1435
1435
Dados os conjuntos
e
, é verdade que:
Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
é o dobro de
.