Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas II e III são falsas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três proposições envolvendo desigualdades com números reais , e . Precisamos analisar cada uma delas para ver se são verdadeiras ou falsas. No final, a conclusão sugerida é que apenas as proposições II e III são falsas. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre propriedades de desigualdades e operações com números reais.

Passo 2

Vamos começar com a Proposição I:
Se a cdot c < b cdot c, então a < b ã
Aqui, queremos saber se multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por preserva a direção da desigualdade. A regra geral é:
  • Se : Multiplicar por mantém a direção da desigualdade.
  • Se : Multiplicar por inverte a direção da desigualdade.
  • Se : A desigualdade se torna , que é falsa.
Então, a proposição I não é sempre verdadeira. Depende do valor de . Se for positivo, a afirmação está correta. Mas se for negativo ou zero, ela pode ser falsa.
Conclusão para I: A proposição I é falsa em geral, porque não especifica o valor de .

Passo 3

Agora, vamos para a Proposição II:
Se a cdot b < 1, então a < 1 e b < 1 ã
Aqui, a afirmação está dizendo que se o produto de dois números é menor que 1, então cada número individualmente também é menor que 1. Vamos testar com um exemplo:
  • Suponha que e . Então, .
  • Mas não é menor que 1, mesmo que seja menor que 1.
Conclusão para II: A proposição II é falsa, pois é possível que o produto seja menor que 1 mesmo que um dos números seja maior ou igual a 1.

Passo 4

Vamos analisar a Proposição III:
Se a < b, então a^2 < b^2 ã
Aqui, a afirmação sugere que se um número é menor que outro, então seu quadrado também será menor. Porém, isso nem sempre é verdade. Vejamos com exemplos:
  • Caso 1: , . Aqui, e . Parece válido.
  • Caso 2: , . Aqui, , mas .
Conclusão para III: A proposição III é falsa, pois quando lidamos com números negativos, o quadrado pode inverter a ordem da desigualdade.

Resposta

Após analisar as três proposições, concluímos que apenas as proposições II e III são falsas.

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