Dados os conjuntos A=x in Z mid-2 <= x<3, B=x in Q mid x^2=2 e C=x in N mid 1 <= x<4, é verdade que:
B subset(A cap C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de conjuntos juntos! Temos três conjuntos:
  • A: todos os números inteiros ( Z) que estão entre -2 e menos que 3.
  • B: todos os números racionais ( Q) cujo quadrado é 2.
  • C: todos os números naturais ( N) que estão entre 1 e menos que 4.
A pergunta é: será que todo elemento de B está também em A ∩ C? Ou seja, B é um subconjunto de A ∩ C?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subconjuntos e interseções, e verificar os elementos de cada conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os elementos de cada conjunto.
  • A: x in Z mid -2 <= x < 3
    Aqui, estamos pegando todos os inteiros de -2 até 2. Então,
    A = -2, -1, 0, 1, 2
  • C: x in N mid 1 <= x < 4
    Números naturais de 1 até 3. Logo,
    C = 1, 2, 3
  • A ∩ C: Interseção de A e C
    São os elementos que estão em ambos os conjuntos.
    A ∩ C = 1, 2

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto B: x in Q mid x^2=2
Queremos todos os números racionais que ao serem elevados ao quadrado dão 2.
Mas você sabia que a raiz quadrada de 2 ( raiz2) é um número irracional? Isso significa que não existe nenhum número racional que, ao ser elevado ao quadrado, resulte exatamente em 2.
Portanto, não há nenhum elemento que satisfaça essa condição. Logo,
B = varnothing (conjunto vazio)

Passo 4

Agora, precisamos verificar se B é um subconjunto de A ∩ C.
Um conjunto é subconjunto de outro se todo elemento do primeiro também está no segundo. No caso de B ser o conjunto vazio, ele não tem elementos. Por definição, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, porque não há elementos para contradizer essa afirmação.

Resposta

Sim, é verdade que B subset(A cap C).

Exercícios relacionados

Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas II e III são falsas.
Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y pode ser igual a x.
Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y é o dobro de x.
Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y=x+1