Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
é o dobro de
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está dizendo. Temos um conjunto
com
elementos e um conjunto
que tem um elemento a mais que
, ou seja,
tem
elementos.
é o número de subconjuntos de
e
é o número de subconjuntos de
. A informação importante aqui é que
é o dobro de
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de quantos subconjuntos um conjunto com
elementos tem, que envolve potências de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o número de subconjuntos de um conjunto com
elementos é dado por
. Isso porque para cada elemento, temos duas opções: ou ele está no subconjunto ou não está.
Passo 3
Aplicando isso ao conjunto
, que tem
elementos, o número de subconjuntos de
é:
Passo 4
Agora, considerando o conjunto
, que tem
elementos, o número de subconjuntos de
é:
Passo 5
Segundo o enunciado, sabemos que
é o dobro de
. Então, podemos escrever a relação:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Passo 7
Observamos que ambos os lados da equação são iguais:
Isso confirma que a relação
é verdadeira para qualquer valor de
.
Resposta
A relação
é sempre válida, já que o conjunto
com
elementos possui o dobro de subconjuntos que o conjunto
com
elementos.
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, é verdade que:
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se , então
.
II. Se , então
e
.
III. Se , então
.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas II e III são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
apenas II e III são falsas.
Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se , então
.
II. Se , então
e
.
III. Se , então
.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.