Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y é o dobro de x.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está dizendo. Temos um conjunto com elementos e um conjunto que tem um elemento a mais que , ou seja, tem elementos. é o número de subconjuntos de e é o número de subconjuntos de . A informação importante aqui é que é o dobro de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de quantos subconjuntos um conjunto com elementos tem, que envolve potências de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número de subconjuntos de um conjunto com elementos é dado por . Isso porque para cada elemento, temos duas opções: ou ele está no subconjunto ou não está.

Passo 3

Aplicando isso ao conjunto x = 2^n , que tem elementos, o número de subconjuntos de é:

Passo 4

Agora, considerando o conjunto y = 2^n+1 , que tem elementos, o número de subconjuntos de é:

Passo 5

Segundo o enunciado, sabemos que 2^n+1 = 2 times 2^n é o dobro de . Então, podemos escrever a relação:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do lado direito:
2 times 2^n = 2^1 times 2^n = 2^n+1

Passo 7

Observamos que ambos os lados da equação são iguais:
2^n+1 = 2^n+1
Isso confirma que a relação é verdadeira para qualquer valor de .

Resposta

A relação é sempre válida, já que o conjunto com elementos possui o dobro de subconjuntos que o conjunto com elementos.

Exercícios relacionados

Dados os conjuntos A=x in Z mid-2 <= x<3, B=x in Q mid x^2=2 e C=x in N mid 1 <= x<4, é verdade que:
B subset(A cap C)
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas II e III são falsas.
Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y=x+1
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.