Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y=x+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: o conjunto com elementos e o conjunto que tem um elemento a mais, ou seja, elementos. Queremos descobrir quantos subconjuntos cada um desses conjuntos tem. Chamamos esses números de e para e , respectivamente. A equação que a gente tem é . Vamos usar um pouquinho de combinatória para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra básica da combinatória: o número de subconjuntos que um conjunto com x = 2^n elementos tem é . Isso porque, para cada elemento, você pode escolher ou não incluí-lo no subconjunto, o que dá duas opções por elemento. Então, para o conjunto com elementos, o número de subconjuntos é:

Passo 3

Da mesma forma, para o conjunto y = 2^n+1 que tem 2^n+1 = 2^n + 1 elementos, o número de subconjuntos é:
Sabemos que , então podemos substituir na equação:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 2^n+1 = 2 cdot 2^n . Primeiro, vamos simplificar a expressão 2 cdot 2^n = 2^n + 1 :
2 cdot 2^n - 2^n = 1 (2 - 1) cdot 2^n = 1 2^n = 1
Então, substituindo de volta na equação:
Vamos subtrair de ambos os lados para isolar os termos:
Agora, sabemos que quando , porque qualquer número elevado a potência zero é 1.

Resposta

O valor de que satisfaz a equação é .

Exercícios relacionados

Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y é o dobro de x.
Dados os conjuntos A=x in Z mid-2 <= x<3, B=x in Q mid x^2=2 e C=x in N mid 1 <= x<4, é verdade que:
B subset(A cap C)
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
Dados os conjuntos A=x in Z mid-2 <= x<3, B=x in Q mid x^2=2 e C=x in N mid 1 <= x<4, é verdade que:
B cup C=varnothing