Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: o conjunto
com
elementos e o conjunto
que tem um elemento a mais, ou seja,
elementos. Queremos descobrir quantos subconjuntos cada um desses conjuntos tem. Chamamos esses números de
e
para
e
, respectivamente. A equação que a gente tem é
. Vamos usar um pouquinho de combinatória para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra básica da combinatória: o número de subconjuntos que um conjunto com
elementos tem é
. Isso porque, para cada elemento, você pode escolher ou não incluí-lo no subconjunto, o que dá duas opções por elemento. Então, para o conjunto
com
elementos, o número de subconjuntos
é:
Passo 3
Da mesma forma, para o conjunto
que tem
elementos, o número de subconjuntos
é:
Sabemos que
, então podemos substituir
na equação:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Primeiro, vamos simplificar a expressão
:
Então, substituindo de volta na equação:
Vamos subtrair
de ambos os lados para isolar os termos:
Agora, sabemos que
quando
, porque qualquer número elevado a potência zero é 1.
Resposta
O valor de
que satisfaz a equação é
.