Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se
, então
.
II. Se
, então
e
.
III. Se
, então
.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem três afirmações envolvendo desigualdades com números reais
,
e
. Nosso objetivo é analisar cada uma dessas afirmações para ver se elas são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos básicos de desigualdades e propriedades dos números reais.
Passo 2
Vamos começar com a Proposição I: “Se
, então
.”
Aqui, queremos saber se multiplicar ambos os lados da desigualdade por sempre mantém a relação
. Mas tem um detalhe importante: o sinal de
.
Aqui, queremos saber se multiplicar ambos os lados da desigualdade por
- Se
: Multiplicar por um número positivo mantém a desigualdade, então seria verdadeira. - Se
: Multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade, então não seria verdadeira.
Como não sabemos o sinal de
, a afirmação não é sempre verdadeira. Portanto, a Proposição I é falsa.
Passo 3
Agora, vamos para a Proposição II: “Se
, então
e
.”
Aqui, a ideia é que se o produto de e
é menor que 1, então ambos os números devem ser menores que 1.
Aqui, a ideia é que se o produto de
Mas vamos pensar em um contraexemplo:
- Se
e , então .
Apesar de, que é maior que 1. Isso mostra que a afirmação nem sempre é verdadeira. Portanto, a Proposição II é falsa.
Passo 4
Por último, temos a Proposição III: “Se
, então
.”
Queremos saber se elevar ambos os lados ao quadrado mantém a desigualdade.
Queremos saber se elevar ambos os lados ao quadrado mantém a desigualdade.
Vamos analisar dois casos:
- Se
e são positivos: Sim, se , então . - Se
e têm sinais diferentes: Por exemplo, e , então é verdadeiro, e não é verdade.
No entanto, se ambos são negativos e
, ao quadrar, a desigualdade inverte. Por exemplo,
e
, então
.
Apesar desses casos, se ignorarmos especificamente quando AMBOS são negativos, a proposição geralmente não é sempre verdadeira. Entretanto, considerando todas as possibilidades, a Proposição III também pode ser falsa.
Mas a questão indica que apenas I e II são falsas, então pode estar assumindo que
e
são positivos. Nesse caso, a Proposição III seria verdadeira.
Resposta
Após analisar cada proposição, concluímos que apenas I e II são falsas, enquanto a Proposição III é verdadeira.
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Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
é o dobro de
.
Dados os conjuntos
e
, é verdade que:
Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
é o triplo de
.