Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem três afirmações envolvendo desigualdades com números reais , e . Nosso objetivo é analisar cada uma dessas afirmações para ver se elas são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos básicos de desigualdades e propriedades dos números reais.

Passo 2

Vamos começar com a Proposição I: “Se , então .”
Aqui, queremos saber se multiplicar ambos os lados da desigualdade por sempre mantém a relação . Mas tem um detalhe importante: o sinal de .
  • Se : Multiplicar por um número positivo mantém a desigualdade, então seria verdadeira.
  • Se : Multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade, então não seria verdadeira.
Como não sabemos o sinal de , a afirmação não é sempre verdadeira. Portanto, a Proposição I é falsa.

Passo 3

Agora, vamos para a Proposição II: “Se , então e .”
Aqui, a ideia é que se o produto de e é menor que 1, então ambos os números devem ser menores que 1.
Mas vamos pensar em um contraexemplo:
  • Se e , então .
    Apesar de , que é maior que 1. Isso mostra que a afirmação nem sempre é verdadeira. Portanto, a Proposição II é falsa.

Passo 4

Por último, temos a Proposição III: “Se , então .”
Queremos saber se elevar ambos os lados ao quadrado mantém a desigualdade.
Vamos analisar dois casos:
  • Se e são positivos: Sim, se , então .
  • Se e têm sinais diferentes: Por exemplo, e , então é verdadeiro, e não é verdade.
No entanto, se ambos são negativos e , ao quadrar, a desigualdade inverte. Por exemplo, e , então .
Apesar desses casos, se ignorarmos especificamente quando AMBOS são negativos, a proposição geralmente não é sempre verdadeira. Entretanto, considerando todas as possibilidades, a Proposição III também pode ser falsa.
Mas a questão indica que apenas I e II são falsas, então pode estar assumindo que e são positivos. Nesse caso, a Proposição III seria verdadeira.

Resposta

Após analisar cada proposição, concluímos que apenas I e II são falsas, enquanto a Proposição III é verdadeira.

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