Dados os conjuntos
e
, é verdade que:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos:
- A: Números inteiros
que satisfazem . - B: Números racionais
que satisfazem . - C: Números naturais
que satisfazem .
A pergunta é: É verdade que
?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a união de conjuntos e verificar se os conjuntos
e
têm elementos em comum ou se algum deles é vazio.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto C:
Os números naturais são
.
Então,
.
Esse conjunto claramente não está vazio, pois contém os elementos 1, 2 e 3.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto B:
Aqui, estamos procurando números racionais
que, ao serem elevados ao quadrado, resultam em 2.
Sabemos que a solução da equação
é
ou
.
Passo 4
Um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
.
É um fato conhecido que
não é um número racional. Isso significa que não existe uma fração
que satisfaça
.
Portanto, não há nenhum número racional que satisfaça
.
Passo 5
Como não existem números racionais que satisfazem
, o conjunto B fica vazio:
Passo 6
Agora, vamos verificar a união dos conjuntos B e C:
Já sabemos que
e
.
A união de um conjunto vazio com qualquer outro conjunto resulta no próprio conjunto não vazio.
Então,
Resposta
Não,
.
Exercícios relacionados
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se , então
.
II. Se , então
e
.
III. Se , então
.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
é o triplo de
.
I. Se
, então
.
II. Se , então
e
.
III. Se , então
.
Analisando-as, conclui-se que:
a) apenas I é falsa.
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
a) apenas I é falsa.