Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
é o triplo de
.
Passo 1
Então, temos dois conjuntos: o conjunto
com
elementos e o conjunto
que tem um elemento a mais que o
, ou seja,
elementos. Queremos descobrir o valor de
sabendo que o número de subconjuntos de
(
) é o triplo do número de subconjuntos de
(
). Vamos usar conceitos de combinatória, especificamente a contagem de subconjuntos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o número de subconjuntos de um conjunto com
elementos é dado por
. Isso acontece porque para cada elemento, podemos escolher incluí-lo ou não no subconjunto, resultando em
possibilidades por elemento.
Passo 3
Aplicando isso ao conjunto
, que tem
elementos, o número de subconjuntos de
é:
Passo 4
O conjunto
tem um elemento a mais que
, ou seja,
elementos. Então, o número de subconjuntos de
é:
Passo 5
Segundo o enunciado, sabemos que
é o triplo de
:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso sugere que
, mas sabemos que o número de subconjuntos nunca é zero. Portanto, devemos ter interpretado algo errado. Vamos reconsiderar o número de subconjuntos.
Na verdade, se considerarmos os subconjuntos próprios (que não incluem o conjunto inteiro), temos:
Agora, aplicando a condição
:
Portanto,
.
Resposta
O valor de
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, é verdade que:
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se , então
.
II. Se , então
e
.
III. Se , então
.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
I. Se
, então
.
II. Se , então
e
.
III. Se , então
.
Analisando-as, conclui-se que:
a) apenas I é falsa.
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
a) apenas I é falsa.
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se , então
.
II. Se , então
e
.
III. Se , então
.
Analisando-as, conclui-se que:
I, II e III são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
I, II e III são falsas.