Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y é o triplo de x.

Passo 1

Então, temos dois conjuntos: o conjunto com elementos e o conjunto que tem um elemento a mais que o , ou seja, elementos. Queremos descobrir o valor de sabendo que o número de subconjuntos de ( ) é o triplo do número de subconjuntos de ( ). Vamos usar conceitos de combinatória, especificamente a contagem de subconjuntos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o número de subconjuntos de um conjunto com elementos é dado por . Isso acontece porque para cada elemento, podemos escolher incluí-lo ou não no subconjunto, resultando em possibilidades por elemento.

Passo 3

Aplicando isso ao conjunto x = 2^n , que tem elementos, o número de subconjuntos de é:

Passo 4

O conjunto y = 2^n+1 = 2 cdot 2^n = 2x tem um elemento a mais que , ou seja, elementos. Então, o número de subconjuntos de é:

Passo 5

Segundo o enunciado, sabemos que y = 3x é o triplo de 2x = 3x :
0 = x
Substituindo o valor de x = 2^n - 1 que encontramos:
y = 2^n+1 - 1
Subtraindo 2^n+1 - 1 = 3(2^n - 1) de ambos os lados:
2 cdot 2^n - 1 = 3 cdot 2^n - 3
Isso sugere que 2^n+1 - 3 cdot 2^n = -2 , mas sabemos que o número de subconjuntos nunca é zero. Portanto, devemos ter interpretado algo errado. Vamos reconsiderar o número de subconjuntos.
Na verdade, se considerarmos os subconjuntos próprios (que não incluem o conjunto inteiro), temos:
2^n(2 - 3) = -2
-2^n = -2
Agora, aplicando a condição 2^n = 2 :
Portanto, .

Resposta

O valor de é igual a 1.

Exercícios relacionados

Dados os conjuntos A=x in Z mid-2 <= x<3, B=x in Q mid x^2=2 e C=x in N mid 1 <= x<4, é verdade que:
B cup C=varnothing
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
apenas I e II são falsas.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
a) apenas I é falsa.
Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
I, II e III são falsas.