Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
I, II e III são falsas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre números reais , e . Nosso objetivo é analisar cada uma delas para ver se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender propriedades básicas de desigualdades e operações com números reais.

Passo 2

Afirmação I: Se , então .
Primeiro, vamos pensar no que isso significa. Se multiplicarmos ambos os lados por um número , a desigualdade pode mudar dependendo do sinal de .
  • Se , então podemos dividir ambos os lados por sem mudar a direção da desigualdade, resultando em .
  • Porém, se , ao dividir por , a desigualdade inverte, ou seja, .
Como a afirmação geral não especifica o sinal de , ela não é sempre verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se , então e .
Vamos analisar isso. A afirmativa sugere que se o produto de dois números é menor que 1, então cada número individualmente é menor que 1.
Mas pensemos em e . Aqui, , que é maior que 1, então não serve. Vamos tentar e , então , mas . Ou seja, mesmo com o produto menor que 1, um dos números pode ser maior que 1. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.

Passo 4

Afirmação III: Se , então .
Vamos verificar isso. Se e são positivos, a afirmação funciona: por exemplo, implica .
Mas e se for negativo? Por exemplo, e . Aqui, , mas e , então , o que contraria a afirmação. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.

Resposta

Depois de analisar cada uma das proposições, concluímos que:
I, II e III são falsas.

Exercícios relacionados

I. Se a c, então a.
II. Se a b<1, então a<1 e b<1.
III. Se a, então a^2.
Analisando-as, conclui-se que:
a) apenas I é falsa.
Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y é o triplo de x.
Dados os conjuntos A=x in Z mid-2 <= x<3, B=x in Q mid x^2=2 e C=x in N mid 1 <= x<4, é verdade que:
A supset C
Dados os conjuntos A=x in Z mid-2 <= x<3, B=x in Q mid x^2=2 e C=x in N mid 1 <= x<4, é verdade que:
A cap B=A