Considere as proposições abaixo, em que a, b, c são números reais quaisquer.
I. Se
, então
.
II. Se
, então
e
.
III. Se
, então
.
Analisando-as, conclui-se que:
I, II e III são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
Analisando-as, conclui-se que:
I, II e III são falsas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre números reais
,
e
. Nosso objetivo é analisar cada uma delas para ver se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos precisar entender propriedades básicas de desigualdades e operações com números reais.
Passo 2
Afirmação I: Se
, então
.
Primeiro, vamos pensar no que isso significa. Se multiplicarmos ambos os lados por um número
, a desigualdade pode mudar dependendo do sinal de
.
- Se
, então podemos dividir ambos os lados por sem mudar a direção da desigualdade, resultando em . - Porém, se
, ao dividir por , a desigualdade inverte, ou seja, .
Como a afirmação geral não especifica o sinal de
, ela não é sempre verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se
, então
e
.
Vamos analisar isso. A afirmativa sugere que se o produto de dois números é menor que 1, então cada número individualmente é menor que 1.
Mas pensemos em
e
. Aqui,
, que é maior que 1, então não serve. Vamos tentar
e
, então
, mas
. Ou seja, mesmo com o produto menor que 1, um dos números pode ser maior que 1. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: Se
, então
.
Vamos verificar isso. Se
e
são positivos, a afirmação funciona: por exemplo,
implica
.
Mas e se
for negativo? Por exemplo,
e
. Aqui,
, mas
e
, então
, o que contraria a afirmação. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
Depois de analisar cada uma das proposições, concluímos que:
I, II e III são falsas.