Um conjunto
possui
elementos, e um conjunto
possui um elemento a mais do que
. Sendo
e
os números de subconjuntos de
e
, respectivamente, tem-se que:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: o conjunto
com
elementos e o conjunto
que tem um elemento a mais que
, ou seja,
elementos. A gente sabe quantos subconjuntos cada um tem:
tem
subconjuntos e
tem
subconjuntos. A relação entre eles é dada por
.
Vamos precisar saber um pouco sobre conjuntos e subconjuntos. A fórmula para o número de subconjuntos de um conjunto com
elementos é
. Então, vamos usar isso para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é o número de subconjuntos de
. Como
tem
elementos, a quantidade de subconjuntos é:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, o número de subconjuntos de
. Como
tem
elementos, a quantidade de subconjuntos é:
Passo 4
A equação que relaciona
e
é:
Substituindo
e
pelas expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Primeiro, a fração:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos tentar manipular as potências de 2:
Fatorando
:
Então:
Passo 7
Aqui percebemos um problema:
sempre será uma potência de 2, ou seja, um número inteiro positivo. Mas, do outro lado, temos
, que não é uma potência de 2.
Isso significa que não existe um número inteiro
que satisfaça a equação dada.
Resposta
Não existe um número inteiro
que satisfaça a relação
para os conjuntos
e
descritos.
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Dados os conjuntos
e
, é verdade que:
Dados os conjuntos
e
, é verdade que:
Dados os conjuntos
e
, determine:
Sendo
e
, é correto afirmar: