Um conjunto A possui n elementos, e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
y=x2+1

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: o conjunto com elementos e o conjunto que tem um elemento a mais que , ou seja, elementos. A gente sabe quantos subconjuntos cada um tem: tem subconjuntos e tem subconjuntos. A relação entre eles é dada por .
Vamos precisar saber um pouco sobre conjuntos e subconjuntos. A fórmula para o número de subconjuntos de um conjunto com elementos é . Então, vamos usar isso para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular x = 2^n , que é o número de subconjuntos de . Como tem elementos, a quantidade de subconjuntos é:

Passo 3

Agora, vamos calcular y = 2^n+1 , o número de subconjuntos de . Como tem elementos, a quantidade de subconjuntos é:

Passo 4

A equação que relaciona y = x2 + 1 e 2^n+1 = 2^n2 + 1 é:
Substituindo e pelas expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Primeiro, a fração:
2^n2 = 2^n-1
Então, a equação fica:
2^n+1 = 2^n-1 + 1

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos tentar manipular as potências de 2:
2^n+1 - 2^n-1 = 1
Fatorando 2^n-1 (2^2 - 1) = 1 Rightarrow 2^n-1 times 3 = 1 :
2^n-1 = 13
Então:

Passo 7

Aqui percebemos um problema: sempre será uma potência de 2, ou seja, um número inteiro positivo. Mas, do outro lado, temos , que não é uma potência de 2.
Isso significa que não existe um número inteiro que satisfaça a equação dada.

Resposta

Não existe um número inteiro que satisfaça a relação para os conjuntos e descritos.

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A cap B=A
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A supset C
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A cap B cap C
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A cap B=A