O conjunto R, op, odot, onde
a ⊕ b = a + b - 1 e a ⊙ b = a + b - a b
é um anel comutativo. Encontre o elemento neutro da soma e da multiplicação e determine o simétrico do número a.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre um conjunto de números reais com duas operações definidas:
Nosso objetivo é encontrar o elemento neutro da soma ( ), o elemento neutro da multiplicação ( ) e o simétrico de um número em relação à soma. Vamos precisar entender o que são elementos neutros e simétricos nessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o elemento neutro da soma, ou seja, um número tal que para qualquer :
Substituindo a operação:
Para que isso seja verdade para todo , precisamos que , então .

Passo 3

Agora, vamos achar o elemento neutro da multiplicação, um número tal que para qualquer :
Substituindo a operação:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , o único possível é .

Passo 4

Por fim, vamos determinar o simétrico de um número em relação à soma . Ou seja, queremos encontrar um número tal que:
Onde é o elemento neutro da soma que encontramos. Substituindo:

Resposta

  • O elemento neutro da soma é .
  • O elemento neutro da multiplicação é .
  • O simétrico de em relação à soma é .

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