Resolva as seguintes equações no anel indicado: x^2 = -1 em Z_5;

Passo 1

Vamos resolver a equação no anel . Isso significa que queremos encontrar todos os números no conjunto {0, 1, 2, 3, 4} que, quando elevados ao quadrado, resultam em no módulo 5. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de congruência e de cálculo de potências em módulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa em . No módulo 5, é equivalente a 4, porque 5 - 1 = 4. Portanto, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar quais valores de no conjunto {0, 1, 2, 3, 4} satisfazem essa equação. Para isso, vamos calcular o quadrado de cada número e ver se é equivalente a 4 modulo 5.
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para : (pois 9 - 5 = 4)
  • Para : (pois 16 - 15 = 1)

Passo 4

Analisando os resultados, vemos que apenas e satisfazem a condição .

Resposta

As soluções para a equação em são e .

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