Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
© Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.
© Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar três números positivos cuja soma é 100 e que tenham o produto máximo. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Aqui, queremos maximizar o produto dos três números, sabendo que sua soma é 100.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Seja
,
e
os três números que queremos encontrar. A restrição que temos é:
Nosso objetivo é maximizar o produto:
Passo 3
Agora, aplicamos os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador
e montamos a seguinte equação:
Isso significa que as derivadas parciais do produto
em relação a cada variável são iguais ao multiplicador
vezes as derivadas da restrição.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
:
E as derivadas parciais da restrição:
Passo 5
Igualando as derivadas conforme os multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá três equações:
Passo 6
Observando que
,
e
são positivos, podemos concluir que
. Ou seja, os três números são iguais.
Passo 7
Como
e
, cada número é:
Resposta
Os três números positivos que somam 100 e possuem o produto máximo são aproximadamente 33,33, 33,33 e 33,33.