Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
© Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar três números positivos cuja soma é 100 e que tenham o produto máximo. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Aqui, queremos maximizar o produto dos três números, sabendo que sua soma é 100.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Seja , e os três números que queremos encontrar. A restrição que temos é:
Nosso objetivo é maximizar o produto:

Passo 3

Agora, aplicamos os multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador e montamos a seguinte equação:
Isso significa que as derivadas parciais do produto em relação a cada variável são iguais ao multiplicador vezes as derivadas da restrição.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :
E as derivadas parciais da restrição:

Passo 5

Igualando as derivadas conforme os multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá três equações:

Passo 6

Observando que , e são positivos, podemos concluir que . Ou seja, os três números são iguais.

Passo 7

Como e , cada número é:

Resposta

Os três números positivos que somam 100 e possuem o produto máximo são aproximadamente 33,33, 33,33 e 33,33.

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