Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
(g) f(x, y) = e^(-xy), x^2 + 4y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função com a restrição . O conteúdo que vamos usar aqui são os Multiplicadores de Lagrange, que ajudam a achar extremos de funções sujeitas a restrições. Precisamos saber um pouco sobre derivadas e como aplicar essas restrições usando Lagrange.

Passo 2

Primeiro, como a desigualdade define uma região fechada e limitada, os extremos provavelmente estarão na fronteira, ou seja, quando . Então, vamos focar nessa igualdade para aplicar os Multiplicadores de Lagrange.

Passo 3

A ideia dos Multiplicadores de Lagrange é que, no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente da função é proporcional ao gradiente da restrição . Matemáticamente, isso fica:
Vamos calcular os gradientes.

Passo 4

Calculando o gradiente de :
E o gradiente de :
Então, temos o sistema:
E a restrição:

Passo 5

Vamos dividir as duas primeiras equações para eliminar :
Multiplicando os dois lados por :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos substituir na restrição :
E, consequentemente, .

Passo 7

Então, temos quatro pontos candidatos:
Vamos calcular em cada um:
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

Então, o valor mínimo de é aproximadamente e o valor máximo é aproximadamente .

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