Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função
com a restrição
. O conteúdo que vamos usar aqui são os Multiplicadores de Lagrange, que ajudam a achar extremos de funções sujeitas a restrições. Precisamos saber um pouco sobre derivadas e como aplicar essas restrições usando Lagrange.
Passo 2
Primeiro, como a desigualdade
define uma região fechada e limitada, os extremos provavelmente estarão na fronteira, ou seja, quando
. Então, vamos focar nessa igualdade para aplicar os Multiplicadores de Lagrange.
Passo 3
A ideia dos Multiplicadores de Lagrange é que, no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente da função
é proporcional ao gradiente da restrição
. Matemáticamente, isso fica:
Vamos calcular os gradientes.
Passo 4
Calculando o gradiente de
:
E o gradiente de
:
Então, temos o sistema:
E a restrição:
Passo 5
Vamos dividir as duas primeiras equações para eliminar
:
Multiplicando os dois lados por
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos substituir
na restrição
:
E, consequentemente,
.
Passo 7
Então, temos quatro pontos candidatos:
Vamos calcular
em cada um:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Então, o valor mínimo de
é aproximadamente
e o valor máximo é aproximadamente
.