O conjunto S=(1,0,4),(3,1,0),(4,1,2) de vetores do R^3 é linearmente dependente ou linearmente independente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre determinar se o conjunto de vetores no espaço tridimensional é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor nulo, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar isso, podemos organizar os vetores em uma matriz e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são linearmente dependentes.
Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
1 & 3 & 4 0 & 1 & 1 4 & 0 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado da seguinte forma:
det(A) = 1(1 cdot 2 - 1 cdot 0) - 3(0 cdot 2 - 1 cdot 4) + 4(0 cdot 0 - 1 cdot 4)
Para a nossa matriz:
= 1(2 - 0) - 3(0 - 4) + 4(0 - 4)
Calculando cada termo:
= 1 cdot 2 - 3 cdot (-4) + 4 cdot (-4)
= 2 + 12 - 16
= -2

Resposta

Como o determinante é (diferente de zero), os vetores do conjunto são linearmente independentes.

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