O vetor A B é tal que A=(2 x+1,3 y-2) e B=(x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem é v=(-4,12), determine os valores de x e y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores no plano cartesiano. Precisamos encontrar os valores de e que fazem o vetor igual ao vetor . Para isso, vamos usar conceitos básicos de vetores e coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor AB = B - A = (x - (2x + 1), y - (3y - 2)) . Esse vetor vai do ponto AB = (-x - 1, -2y + 2) até o ponto . Se e , a coordenada do vetor é dada por:
Simplificando isso, temos:

Passo 3

Agora, sabemos que esse vetor (-x - 1, -2y + 2) = (-4, 12) deve ser igual ao vetor -x - 1 = -4 e -2y + 2 = 12 . Então, podemos igualar as componentes dos dois vetores:
Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para encontrar -x - 1 = -4 -x = -4 + 1 -x = -3 x = 3 :
-2y + 2 = 12 -2y = 12 - 2 -2y = 10 y = -5
Agora, vamos resolver a segunda equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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