Prove que |v times w|= se, e somente se, v é ortogonal a w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a norma do produto vetorial de dois vetores v times w é igual ao produto interno lang<= v, w rang<= se e somente se v é ortogonal a w. Isso está relacionado aos conceitos de produto vetorial e produto interno em álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas dessas operações e as condições de ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno e o produto vetorial:
  • Produto Interno: Para dois vetores v e w, o produto interno é dado por:
    lang<= v, w rang<= = |v| cdot |w| cdot costheta
    onde theta é o ângulo entre os vetores.
  • Produto Vetorial: O produto vetorial resulta em um vetor cujo módulo é:
    |v times w| = |v| cdot |w| cdot sintheta

Passo 3

Agora, segundo o enunciado, queremos provar que:
|v times w| = lang<= v, w rang<=
Substituindo as fórmulas que relembramos:
|v| cdot |w| cdot sintheta = |v| cdot |w| cdot costheta

Passo 4

Dividindo ambos os lados da equação por |v| cdot |w| (desde que sejam diferentes de zero):
sintheta = costheta

Passo 5

A equação sintheta = costheta é verdadeira quando:
theta = 45^circ ou theta = 225^circ

Passo 6

Porém, o enunciado quer provar que isso ocorre se e somente se v é ortogonal a w, ou seja, quando theta = 90^circ. Mas vemos que sin(90^circ) = 1 e cos(90^circ) = 0, o que não satisfaz a equação sintheta = costheta.

Passo 7

Isso indica que a igualdade |v times w| = lang<= v, w rang<= não ocorre quando os vetores são ortogonais, mas sim quando o ângulo entre eles é de 45^circ ou 225^circ.

Resposta

Portanto, a igualdade |v times w| = lang<= v, w rang<= não acontece quando v é ortogonal a w. Pelo contrário, ela ocorre quando o ângulo entre os vetores é de 45^circ ou 225^circ.

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