Prove que
se, e somente se,
é ortogonal a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a norma do produto vetorial de dois vetores
é igual ao produto interno
se e somente se
é ortogonal a
. Isso está relacionado aos conceitos de produto vetorial e produto interno em álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas dessas operações e as condições de ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno e o produto vetorial:
-
Produto Interno: Para dois vetores
e , o produto interno é dado por:
ondeé o ângulo entre os vetores. -
Produto Vetorial: O produto vetorial resulta em um vetor cujo módulo é:
Passo 3
Agora, segundo o enunciado, queremos provar que:
Substituindo as fórmulas que relembramos:
Passo 4
Dividindo ambos os lados da equação por
(desde que sejam diferentes de zero):
Passo 5
A equação
é verdadeira quando:
Passo 6
Porém, o enunciado quer provar que isso ocorre se e somente se
é ortogonal a
, ou seja, quando
. Mas vemos que
e
, o que não satisfaz a equação
.
Passo 7
Isso indica que a igualdade
não ocorre quando os vetores são ortogonais, mas sim quando o ângulo entre eles é de
ou
.
Resposta
Portanto, a igualdade
não acontece quando
é ortogonal a
. Pelo contrário, ela ocorre quando o ângulo entre os vetores é de
ou
.