Calcule o determinante da matriz A=[cccc3 & 0 & 0 & -2 4 & 0 & 3 & 1 0 & 3 & -7 & 4 5 & 0 & 3 & 1].

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada A = 3 & 0 & 0 & -2 4 & 0 & 3 & 1 0 & 3 & -7 & 4 5 & 0 & 3 & 1 de ordem 4:
O objetivo é calcular o determinante dessa matriz. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Vamos precisar aplicar operações elementares em linhas para simplificar a matriz até que ela esteja em uma forma que facilite o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zeros) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Portanto, nosso objetivo é transformar a matriz em uma matriz triangular superior usando operações de linha.
Vamos começar observando que o primeiro elemento da primeira linha já é 3, que é bom para facilitar as próximas operações.

Passo 3

Vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que é 3). Para isso, usaremos a operação de subtração de múltiplos da primeira linha das demais linhas.
  • Para eliminar o 4 da segunda linha, multiplicamos a primeira linha por R2 = R2 - (43)R1 e subtraímos da segunda linha:
R4 = R4 - (53)R1
  • Para eliminar o 0 da terceira linha, não precisamos fazer nada, pois já é zero.
  • Para eliminar o 5 da quarta linha, multiplicamos a primeira linha por 3 & 0 & 0 & -2 4 & 0 & 3 & 1 0 & 3 & -7 & 4 5 & 0 & 3 & 1 3 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 3 & 73 0 & 3 & -7 & 4 0 & 0 & 3 & 113 e subtraímos da quarta linha:
Vamos aplicar essas operações:

Passo 4

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos ter um elemento não zero na posição (2,2). Observamos que a terceira linha já tem um 3 nessa posição, então vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar:
3 & 0 & 0 & -2 0 & 3 & -7 & 4 0 & 0 & 3 & 73 0 & 0 & 3 & 113
Lembrando que trocar linhas altera o sinal do determinante, então precisamos considerar isso no final.
Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do elemento (2,2), que é 3.
  • Para eliminar o 0 e deixar a matriz triangular superior, percebemos que os elementos abaixo já são zeros na segunda coluna, então não precisamos fazer mais nada nessa coluna.

Passo 5

Agora, vamos nos concentrar na terceira coluna. Queremos ter zeros abaixo do elemento (3,3), que é 3. Observamos que as linhas 3 e 4 têm o mesmo elemento na terceira coluna. Vamos eliminar o elemento na quarta linha:
R4 = R4 - R3
Aplicando essa operação:
3 & 0 & 0 & -2 0 & 3 & -7 & 4 0 & 0 & 3 & 73 0 & 0 & 0 & 43
Agora, a matriz está em forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.

Resposta

O determinante da matriz det(A) = 3 times 3 times 3 times 43 = 3 times 3 times 4 = 36 é:
Portanto, .

Exercícios relacionados

Dados vetores v=2 i-3 j+2 k e w=4 i-j+2 k, determinar:
(a) v times w
(b) O seno do ângulo entre v e w.
Calcule a inversa da matriz A=[ccc1 & 3 & 1 1 & 2 & 0 -2 & 0 & 3].
Prove que |v times w|= se, e somente se, v é ortogonal a w.
O conjunto S=(1,0,4),(3,1,0),(4,1,2) de vetores do R^3 é linearmente dependente ou linearmente independente?