O conjunto {sen(x), cos(x)} é ortonormal em [-pi, pi] ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: O conjunto {sen(x), cos(x)} é ortonormal em [-pi, pi]?. Isso está relacionado aos conceitos de ortogonalidade e normalização em funções. Para resolver, vamos precisar calcular integrais que verificam se as funções são ortogonais entre si e se cada uma está normalizada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal. Duas funções são ortogonais em um intervalo se o produto delas integrado nesse intervalo for zero. Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
Usando a identidade trigonométrica:
Então,
Como a integral de sobre um período completo é zero, temos:
Isso confirma que as funções são ortogonais.

Passo 4

Agora, vamos verificar a normalização de cada função. Para uma função estar normalizada, a integral do quadrado dela sobre o intervalo deve ser igual a 1. Ou seja, precisamos calcular:

Passo 5

Vamos calcular a integral de :
E a integral de :
Ambas as integrais resultam em pi, não em 1. Isso significa que as funções não estão normalizadas.

Resposta

Não, o conjunto {sen(x), cos(x)} não é ortonormal em [-pi, pi] porque, embora sejam ortogonais, suas normas não são iguais a 1.

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