O conjunto
é ortonormal em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: O conjunto
é ortonormal em
?. Isso está relacionado aos conceitos de ortogonalidade e normalização em funções. Para resolver, vamos precisar calcular integrais que verificam se as funções são ortogonais entre si e se cada uma está normalizada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal. Duas funções são ortogonais em um intervalo se o produto delas integrado nesse intervalo for zero. Ou seja, precisamos verificar se:
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Usando a identidade trigonométrica:
Então,
Como a integral de
sobre um período completo é zero, temos:
Isso confirma que as funções são ortogonais.
Passo 4
Agora, vamos verificar a normalização de cada função. Para uma função estar normalizada, a integral do quadrado dela sobre o intervalo deve ser igual a 1. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 5
Vamos calcular a integral de
:
E a integral de
:
Ambas as integrais resultam em
, não em 1. Isso significa que as funções não estão normalizadas.
Resposta
Não, o conjunto
não é ortonormal em
porque, embora sejam ortogonais, suas normas não são iguais a 1.
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Classifique as EDPs a seguir como hiperbólica, parabólica ou elíptica:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Indique as propriedades que estão sendo usadas nas operações a seguir: