O conjunto de todas as matrizes
da forma
com a adiçăo matricial e a multiplicação matricial por escalar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de matrizes
que seguem o formato:
Nosso objetivo aqui é analisar esse conjunto usando conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para isso, vamos precisar entender como funciona a adição de matrizes e a multiplicação por escalar, além de verificar se esse conjunto satisfaz os axiomas de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz no formato dado. Cada matriz é definida por dois parâmetros:
e
. Então, qualquer matriz desse conjunto pode ser escrita como:
Aqui,
e
são números reais (ou pertencem ao campo que estamos considerando).
Passo 3
Agora, vamos verificar se, ao adicionar duas matrizes desse conjunto, o resultado ainda pertence ao conjunto. Suponha que temos duas matrizes:
A soma
é:
onde
e
. Perceba que a soma também está no formato original, então a adição é fechada nesse conjunto.
Passo 4
Em seguida, vamos ver a multiplicação por um escalar. Seja
um número real e
uma matriz do conjunto:
Multiplicando por
:
Aqui,
e
são novos parâmetros, digamos
e
. Assim,
também está no formato original.
Passo 5
Agora, precisamos verificar os axiomas de um espaço vetorial, como existência de elemento neutro (matriz zero), existência de inverso aditivo, associatividade, comutatividade na adição, distributividade, etc.
- Elemento neutro: A matriz zero seria quando
e :
que está no conjunto.
- Inverso aditivo: Para qualquer matriz
, existe que também está no conjunto, pois basta definir e .
Os demais axiomas também são satisfeitos porque estamos utilizando a adição e a multiplicação por escalar padrão de matrizes, que já formam um espaço vetorial.
Passo 6
Finalmente, como o conjunto satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sob adição matricial e multiplicação por escalar, podemos concluir que esse conjunto de matrizes forma um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes
do formato dado, com adição matricial e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial.