O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 da forma
[cc a & a+b a+b & b ]
com a adiçăo matricial e a multiplicação matricial por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de matrizes a & a+b a+b & b que seguem o formato:
Nosso objetivo aqui é analisar esse conjunto usando conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para isso, vamos precisar entender como funciona a adição de matrizes e a multiplicação por escalar, além de verificar se esse conjunto satisfaz os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz no formato dado. Cada matriz é definida por dois parâmetros: M = a & a+b a+b & b e . Então, qualquer matriz desse conjunto pode ser escrita como:
Aqui, e são números reais (ou pertencem ao campo que estamos considerando).

Passo 3

Agora, vamos verificar se, ao adicionar duas matrizes desse conjunto, o resultado ainda pertence ao conjunto. Suponha que temos duas matrizes:
M1 = a1 & a1+b1 a1+b1 & b1 , M2 = a2 & a2+b2 a2+b2 & b2
A soma M1 + M2 = a1 + a2 & (a1 + b1) + (a2 + b2) (a1 + b1) + (a2 + b2) & b1 + b2 = a' & a' + b' a' + b' & b' é:
onde e . Perceba que a soma também está no formato original, então a adição é fechada nesse conjunto.

Passo 4

Em seguida, vamos ver a multiplicação por um escalar. Seja M = a & a+b a+b & b um número real e kM = ka & k(a+b) k(a+b) & kb = ka & ka + kb ka + kb & kb uma matriz do conjunto:
Multiplicando por :
Aqui, e são novos parâmetros, digamos e . Assim, também está no formato original.

Passo 5

Agora, precisamos verificar os axiomas de um espaço vetorial, como existência de elemento neutro (matriz zero), existência de inverso aditivo, associatividade, comutatividade na adição, distributividade, etc.
  • Elemento neutro: A matriz zero seria quando 0 & 0 0 & 0 e :
que está no conjunto.
  • Inverso aditivo: Para qualquer matriz , existe que também está no conjunto, pois basta definir e .
Os demais axiomas também são satisfeitos porque estamos utilizando a adição e a multiplicação por escalar padrão de matrizes, que já formam um espaço vetorial.

Passo 6

Finalmente, como o conjunto satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sob adição matricial e multiplicação por escalar, podemos concluir que esse conjunto de matrizes forma um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes do formato dado, com adição matricial e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial.

Exercícios relacionados