Nos sistemas a seguir, interprete geometricamente cada equação como uma reta no plano, faça o gráfico dessas retas e determine geometricamente o número de soluções. lx+y=2 x-y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de duas equações do tipo:
x + y = 2 x - y = 1
O conteúdo que vamos usar aqui é de Geometria Analítica, onde a gente interpreta equações como retas no plano cartesiano. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como transformar essas equações para o formato que facilita desenhar as retas e ver onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar cada equação para a forma mais fácil de desenhar: x + y = 2 , onde y = -x + 2 é o coeficiente angular (inclinação da reta) e x - y = 1 é o coeficiente linear (ponto onde a reta cruza o eixo y).
Vamos começar com a primeira equação:
-y = -x + 1
Subtraindo y = x - 1 dos dois lados para isolar o :
Agora, a segunda equação:
Subtraindo dos dois lados:
Multiplicando os dois lados por -1 para deixar o positivo:

Passo 3

Agora que temos as duas equações na forma , podemos identificar os coeficientes angulares e lineares:
  1. Primeira reta:
    • Coeficiente angular ( ): -1
    • Coeficiente linear ( ): 2
  2. Segunda reta:
    • Coeficiente angular ( ): 1
    • Coeficiente linear ( ): -1

Passo 4

Com esses coeficientes, podemos desenhar as retas no plano cartesiano.
  • Para a primeira reta ( ):
    • Quando , → ponto (0, 2)
    • Quando , → ponto (2, 0)
  • Para a segunda reta ( ):
    • Quando , → ponto (0, -1)
    • Quando , → ponto (1, 0)

Passo 5

Vamos pensar nas inclinações das retas. A primeira reta tem um coeficiente angular de -1, o que significa que ela desce da esquerda para a direita. A segunda reta tem um coeficiente angular de 1, então ela sobe da esquerda para a direita.
Como as inclinações são diferentes ( vs ), sabemos que as retas não são paralelas e não coincidem. Portanto, elas se intersectam em exatamente um ponto.

Passo 6

Para encontrar o ponto de interseção, vamos resolver o sistema de equações.
Temos:
y = -x + 2 y = x - 1
Como ambas as equações são iguais a -x + 2 = x - 1 , podemos igualá-las:
2 + 1 = x + x 3 = 2x x = 32
Somando y = 32 - 1 = 12 e adicionando aos dois lados:
Agora, substituindo o valor de em uma das equações para encontrar . Vamos usar :

Resposta

As duas retas se intersectam no ponto . Portanto, o sistema tem uma única solução.

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