Nos sistemas a seguir, interprete geometricamente cada equação como uma reta no plano, faça o gráfico dessas retas e determine geometricamente o número de soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de duas equações do tipo:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Geometria Analítica, onde a gente interpreta equações como retas no plano cartesiano. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como transformar essas equações para o formato que facilita desenhar as retas e ver onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar cada equação para a forma mais fácil de desenhar:
, onde
é o coeficiente angular (inclinação da reta) e
é o coeficiente linear (ponto onde a reta cruza o eixo y).
Vamos começar com a primeira equação:
Subtraindo
dos dois lados para isolar o
:
Agora, a segunda equação:
Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicando os dois lados por -1 para deixar o
positivo:
Passo 3
Agora que temos as duas equações na forma
, podemos identificar os coeficientes angulares e lineares:
-
Primeira reta:
- Coeficiente angular (
): -1 - Coeficiente linear (
): 2
- Coeficiente angular (
-
Segunda reta:
- Coeficiente angular (
): 1 - Coeficiente linear (
): -1
- Coeficiente angular (
Passo 4
Com esses coeficientes, podemos desenhar as retas no plano cartesiano.
-
Para a primeira reta (
): - Quando
, → ponto (0, 2) - Quando
, → ponto (2, 0)
- Quando
-
Para a segunda reta (
): - Quando
, → ponto (0, -1) - Quando
, → ponto (1, 0)
- Quando
Passo 5
Vamos pensar nas inclinações das retas. A primeira reta tem um coeficiente angular de -1, o que significa que ela desce da esquerda para a direita. A segunda reta tem um coeficiente angular de 1, então ela sobe da esquerda para a direita.
Como as inclinações são diferentes (
vs
), sabemos que as retas não são paralelas e não coincidem. Portanto, elas se intersectam em exatamente um ponto.
Passo 6
Para encontrar o ponto de interseção, vamos resolver o sistema de equações.
Temos:
Como ambas as equações são iguais a
, podemos igualá-las:
Somando
e adicionando
aos dois lados:
Agora, substituindo o valor de
em uma das equações para encontrar
. Vamos usar
:
Resposta
As duas retas se intersectam no ponto
. Portanto, o sistema tem uma única solução.