O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 da forma
[ll a & 1 1 & b ]
com a adição matricial e a multiplicação matricial por escalar.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de todas as matrizes a & 1 1 & b que têm a seguinte forma:
Aqui, e são números reais. A matéria que estamos lidando é Álgebra Linear, especificamente espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a adição matricial e a multiplicação de uma matriz por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa adição matricial. Se tivermos duas matrizes dessa forma:
A = a & 1 1 & b e B = c & 1 1 & d
A soma A + B = a + c & 1 + 1 1 + 1 & b + d = a + c & 2 2 & b + d será:

Passo 3

Agora, vamos ver a multiplicação por um escalar. Se multiplicarmos a matriz kA = k a & 1 1 & b = ka & k k & kb por um número real :

Passo 4

Para determinar se esse conjunto de matrizes forma um espaço vetorial, precisamos verificar algumas propriedades, como fechadura sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento nulo, entre outras. Vamos focar na fechadura.

Passo 5

Fechadura sob adição: Quando somamos duas matrizes desse conjunto, como vimos no Passo 2, a matriz resultante tem:
  • As entradas fora da diagonal iguais a 2, o que não segue o formato original, onde essas entradas são 1.
Isso significa que não está necessariamente no conjunto original, já que as entradas fora da diagonal não são mais 1.

Passo 6

Fechadura sob multiplicação por escalar: Observando o Passo 3, ao multiplicar por um escalar , as entradas fora da diagonal passam a ser , não mais 1, a menos que . Portanto, em geral, não pertence ao conjunto original.

Passo 7

Como o conjunto não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não forma um espaço vetorial com essas operações.

Resposta

O conjunto das matrizes a & 1 1 & b da forma , com adição matricial e multiplicação por escalar, não forma um espaço vetorial, pois não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar.

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