O conjunto de todas as matrizes
da forma
com a adição matricial e a multiplicação matricial por escalar.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de todas as matrizes
que têm a seguinte forma:
Aqui,
e
são números reais. A matéria que estamos lidando é Álgebra Linear, especificamente espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a adição matricial e a multiplicação de uma matriz por um escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa adição matricial. Se tivermos duas matrizes dessa forma:
A soma
será:
Passo 3
Agora, vamos ver a multiplicação por um escalar. Se multiplicarmos a matriz
por um número real
:
Passo 4
Para determinar se esse conjunto de matrizes forma um espaço vetorial, precisamos verificar algumas propriedades, como fechadura sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento nulo, entre outras. Vamos focar na fechadura.
Passo 5
Fechadura sob adição: Quando somamos duas matrizes desse conjunto, como vimos no Passo 2, a matriz resultante tem:
- As entradas fora da diagonal iguais a 2, o que não segue o formato original, onde essas entradas são 1.
Isso significa que
não está necessariamente no conjunto original, já que as entradas fora da diagonal não são mais 1.
Passo 6
Fechadura sob multiplicação por escalar: Observando o Passo 3, ao multiplicar por um escalar
, as entradas fora da diagonal passam a ser
, não mais 1, a menos que
. Portanto, em geral,
não pertence ao conjunto original.
Passo 7
Como o conjunto não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não forma um espaço vetorial com essas operações.
Resposta
O conjunto das matrizes
da forma
, com adição matricial e multiplicação por escalar, não forma um espaço vetorial, pois não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar.