Quando um conjunto de vetores é considerado como gerador de um subespaço vetorial?

Passo 1

Então, vamos lá! A pergunta é: Quando um conjunto de vetores é considerado como gerador de um subespaço vetorial? Vamos trabalhar com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais, subespaços, e geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores gerar um subespaço, ou seja, o conceito de combinação linear e como esses vetores podem “gerar” todo o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores que, além de serem fechados sob adição e multiplicação por escalar, forma uma estrutura organizada para trabalhar com vetores. Um subespaço é simplesmente um “pedaço” desse espaço vetorial que também cumpre todas as propriedades de um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, o que significa um gerador? Um conjunto de vetores é chamado de gerador de um subespaço se, através das suas combinações lineares, você consegue chegar a qualquer vetor desse subespaço. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma soma de múltiplos escalares desses vetores geradores.

Passo 4

Vamos falar sobre combinação linear. Uma combinação linear de um conjunto de vetores é uma expressão onde cada vetor é multiplicado por um escalar e depois somados juntos. Matematicamente, se temos vetores c1v1 + c2v2 + dots + cnvn , uma combinação linear seria:
onde são escalares.

Passo 5

Para que um conjunto de vetores seja gerador de um subespaço, todas as combinações lineares desses vetores precisam cobrir todo o subespaço. Isso significa que não falta nenhum vetor no subespaço que não possa ser alcançado usando esses geradores.

Passo 6

Além disso, é importante lembrar que o conjunto de geradores deve satisfazer duas coisas:
  1. Span: O span (espalhamento) dos vetores geradores deve ser igual ao subespaço. Ou seja, subespaço.
  2. Independência Linear (opcional): Embora não seja obrigatório, se os vetores forem linearmente independentes, eles formam uma base para o subespaço, o que é uma forma mais eficiente de gerar o subespaço.

Resposta

Um conjunto de vetores é considerado como gerador de um subespaço vetorial quando todas as combinações lineares desses vetores conseguem formar qualquer vetor do subespaço. Ou seja, o span dos vetores geradores cobre todo o subespaço. Matemáticamente, se for igual ao subespaço em questão, então esses vetores são geradores desse subespaço.

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