Quando um conjunto de vetores é considerado como gerador de um subespaço vetorial?
Passo 1
Então, vamos lá! A pergunta é: Quando um conjunto de vetores é considerado como gerador de um subespaço vetorial? Vamos trabalhar com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais, subespaços, e geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores gerar um subespaço, ou seja, o conceito de combinação linear e como esses vetores podem “gerar” todo o subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores que, além de serem fechados sob adição e multiplicação por escalar, forma uma estrutura organizada para trabalhar com vetores. Um subespaço é simplesmente um “pedaço” desse espaço vetorial que também cumpre todas as propriedades de um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, o que significa um gerador? Um conjunto de vetores é chamado de gerador de um subespaço se, através das suas combinações lineares, você consegue chegar a qualquer vetor desse subespaço. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma soma de múltiplos escalares desses vetores geradores.
Passo 4
Vamos falar sobre combinação linear. Uma combinação linear de um conjunto de vetores é uma expressão onde cada vetor é multiplicado por um escalar e depois somados juntos. Matematicamente, se temos vetores
, uma combinação linear seria:
onde
são escalares.
Passo 5
Para que um conjunto de vetores seja gerador de um subespaço, todas as combinações lineares desses vetores precisam cobrir todo o subespaço. Isso significa que não falta nenhum vetor no subespaço que não possa ser alcançado usando esses geradores.
Passo 6
Além disso, é importante lembrar que o conjunto de geradores deve satisfazer duas coisas:
- Span: O span (espalhamento) dos vetores geradores deve ser igual ao subespaço. Ou seja,
subespaço. - Independência Linear (opcional): Embora não seja obrigatório, se os vetores forem linearmente independentes, eles formam uma base para o subespaço, o que é uma forma mais eficiente de gerar o subespaço.
Resposta
Um conjunto de vetores é considerado como gerador de um subespaço vetorial quando todas as combinações lineares desses vetores conseguem formar qualquer vetor do subespaço. Ou seja, o span dos vetores geradores cobre todo o subespaço. Matemáticamente, se
for igual ao subespaço em questão, então esses vetores são geradores desse subespaço.