O que é base ortonormal?

Passo 1

Beleza, você perguntou o que é uma base ortonormal. Isso está no campo da álgebra linear, especificamente estudando vetores e espaços vetoriais. Para entender isso, vamos precisar saber o que é uma base, o que significa vetores serem ortogonais e o que é ter comprimento unitário. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre base. Em álgebra linear, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Agora, vamos entender o que são vetores ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero. O produto interno de dois vetores u cdot v = 0 e é dado por:
Se isso for verdade, os vetores formam um ângulo de 90 graus entre si, ou seja, são perpendiculares.

Passo 4

Além de serem ortogonais, para termos uma base ortonormal, cada vetor da base precisa ter comprimento unitário. O comprimento (ou norma) de um vetor |v| = raizv cdot v é calculado por:
|v| = 1
Para ser unitário, essa norma deve ser igual a 1:

Passo 5

Juntando tudo, uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são mutuamente ortogonais (cada par de vetores é ortogonal) e cada vetor tem norma igual a 1. Isso simplifica muitos cálculos em álgebra linear porque facilita expressar e manipular vetores no espaço.

Resposta

Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são mutuamente ortogonais (perpendiculares entre si) e cada vetor tem comprimento unitário (norma igual a 1), formando assim uma base para o espaço vetorial.

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