Seja
uma matriz quadrada de ordem 2. Mostre que se
para toda matriz quadrada
de ordem 2, então existe
tal que
, onde
é a matrix identidade de ordem 2 .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada
de ordem 2. O exercício pede para mostrar que, se
comuta com todas as matrizes quadradas
de ordem 2 (ou seja,
para qualquer
), então
tem que ser um múltiplo da matriz identidade
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes e comutatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz identidade
de ordem 2 é aquela que tem 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições, ou seja:
Um múltiplo escalar dessa matriz seria qualquer matriz
, onde
é um número real:
Passo 3
Agora, vamos supor que
comuta com qualquer matriz
de ordem 2. Vamos escrever
de forma geral:
E uma matriz
qualquer de ordem 2:
Queremos que
. Vamos calcular os dois produtos.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Passo 5
Como
para toda matriz
, isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos os elementos:
Passo 6
Vamos analisar essas igualdades. Como isso deve valer para qualquer
, podemos escolher valores específicos para simplificar a análise.
Primeiro, vamos escolher
de forma que apenas
seja não zero, ou seja,
. Então:
-
→ Sempre verdade. -
→ Como isso deve valer para qualquer , necessariamente .
Passo 7
Agora, escolhemos
com
não zero e
:
-
→ Dividindo ambos os lados por (que é diferente de zero), temos .
Passo 8
Em seguida, escolhemos
com
não zero e
:
-
→ Como , isso se confirma.
Passo 9
Por fim, escolhemos
com
não zero e
:
-
→ Sempre verdade.
Passo 10
Com isso, mostramos que
e
. Assim, a matriz
fica:
Mas ainda falta determinar
. Para isso, voltamos à condição original
.
Passo 11
Usando
e
, a matriz
simplifica para:
Comparando os elementos:
-
→
Como isso deve valer para qualquer
, necessariamente
.
Resposta
Portanto, a única matriz
que comuta com todas as matrizes quadradas de ordem 2 é da forma
, onde
é um número real e
é a matriz identidade de ordem 2.