Seja A uma matriz quadrada de ordem 2. Mostre que se A B=B A para toda matriz quadrada B de ordem 2, então existe a in R tal que A=a I2, onde I2 é a matrix identidade de ordem 2 .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada de ordem 2. O exercício pede para mostrar que, se comuta com todas as matrizes quadradas de ordem 2 (ou seja, para qualquer ), então tem que ser um múltiplo da matriz identidade . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes e comutatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz identidade I2 = 1 & 0 0 & 1 de ordem 2 é aquela que tem 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições, ou seja:
A = a 1 & 0 0 & 1 = a & 0 0 & a
Um múltiplo escalar dessa matriz seria qualquer matriz , onde é um número real:

Passo 3

Agora, vamos supor que A = a & b c & d comuta com qualquer matriz B = x & y z & w de ordem 2. Vamos escrever de forma geral:
E uma matriz qualquer de ordem 2:
Queremos que . Vamos calcular os dois produtos.

Passo 4

Primeiro, calculamos AB = a & b c & d x & y z & w = a x + b z & a y + b w c x + d z & c y + d w :
BA = x & y z & w a & b c & d = x a + y c & x b + y d z a + w c & z b + w d
Depois, calculamos :

Passo 5

Como para toda matriz , isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos os elementos:

Passo 6

Vamos analisar essas igualdades. Como isso deve valer para qualquer , podemos escolher valores específicos para simplificar a análise.
Primeiro, vamos escolher de forma que apenas seja não zero, ou seja, . Então:
  1. → Sempre verdade.
  2. → Como isso deve valer para qualquer , necessariamente .

Passo 7

Agora, escolhemos com não zero e :
  1. → Dividindo ambos os lados por (que é diferente de zero), temos .

Passo 8

Em seguida, escolhemos com não zero e :
  1. → Como , isso se confirma.

Passo 9

Por fim, escolhemos com não zero e :
  1. → Sempre verdade.

Passo 10

Com isso, mostramos que A = a & 0 c & a e . Assim, a matriz fica:
Mas ainda falta determinar . Para isso, voltamos à condição original .

Passo 11

Usando a x & a y c x + a z & c y + a w = a x & y a z a & z 0 + a w e , a matriz simplifica para:
Comparando os elementos:
Como isso deve valer para qualquer , necessariamente .

Resposta

Portanto, a única matriz que comuta com todas as matrizes quadradas de ordem 2 é da forma , onde é um número real e é a matriz identidade de ordem 2.

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