O conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0 e 2 x+y=0 com as operações usuais é espaço vetorial?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pergunta se o conjunto W = (x, y, z) in R^3 mid x + y + z = 0 e 2x + y = 0, com as operações usuais de vetores, é um espaço vetorial. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar se W satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como conter o vetor zero, ser fechado por adição e por multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto W. O vetor zero é (0, 0, 0). Substituindo na primeira equação:
0 + 0 + 0 = 0 (Verdadeiro)
E na segunda equação:
2 times 0 + 0 = 0 (Verdadeiro)
Então, o vetor zero está em W.

Passo 3

Agora, vamos checar se W é fechada por adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em W, a soma deles também deve estar em W. Suponha que temos dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em W. Então:
x1 + y1 + z1 = 0 e 2x1 + y1 = 0
x2 + y2 + z2 = 0 e 2x2 + y2 = 0
A soma u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) deve satisfazer:
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0
E:
2(x1 + x2) + (y1 + y2) = (2x1 + y1) + (2x2 + y2) = 0 + 0 = 0
Então, a soma u + v também está em W.

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechada por multiplicação escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor qualquer em W e multiplicarmos por um escalar k, o resultado também deve estar em W. Seja u = (x, y, z) in W e k in R. Então:
x + y + z = 0 e 2x + y = 0
Multiplicando por k:
k(x) + k(y) + k(z) = k(x + y + z) = k times 0 = 0
2k(x) + k(y) = k(2x + y) = k times 0 = 0
Portanto, k cdot u = (k x, k y, k z) também está em W.

Resposta

Sim, o conjunto W com as operações usuais é um espaço vetorial.

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