O conjunto
e
com as operações usuais é espaço vetorial?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pergunta se o conjunto
, com as operações usuais de vetores, é um espaço vetorial. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como conter o vetor zero, ser fechado por adição e por multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto
. O vetor zero é
. Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechada por adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Suponha que temos dois vetores
e
em
. Então:
A soma
deve satisfazer:
E:
Então, a soma
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechada por multiplicação escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
. Seja
e
. Então:
Multiplicando por
:
Portanto,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
com as operações usuais é um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
a)
a)
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
a) gera
.
a)
Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
b)
b)
Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial
.
a) e
.
a)