O conjunto e com as operações usuais é espaço vetorial?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pergunta se o conjunto , com as operações usuais de vetores, é um espaço vetorial. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como conter o vetor zero, ser fechado por adição e por multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto . O vetor zero é . Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechada por adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Suponha que temos dois vetores e em . Então:
A soma deve satisfazer:
E:
Então, a soma também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechada por multiplicação escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor qualquer em e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em . Seja e . Então:
Multiplicando por :
Portanto, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto com as operações usuais é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
a)
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
a) gera .
Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
b)
Em cada item, determine se o espaço gerados pelos vetores indicados é o espaço vetorial .
a) e .