Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
b) W=(x1, x2, x3) in R^3 mid x1=x2=x3

Passo 1

Resumo da questão: Precisamos verificar se o conjunto W = , (x1, x2, x3) in R^3 mid x1 = x2 = x3 , é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial e os critérios que precisam ser atendidos para que um conjunto seja considerado um subespaço.
Conteúdo da matéria: Subespaços vetoriais, fechamento sob adição e multiplicação por escalar, vetor zero.
O que vamos precisar: Verificar se W contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero está em W:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele pertence a W.
Como 0 = 0 = 0, o vetor zero satisfaz a condição x1 = x2 = x3. Portanto, (0, 0, 0) in W.

Passo 3

Verificar se W é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W, digamos u = (a, a, a) e v = (b, b, b).
Somando-os:
u + v = (a + b, a + b, a + b)
Como a + b = a + b = a + b, o vetor resultante também satisfaz x1 = x2 = x3. Logo, u + v in W.

Passo 4

Verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em W, digamos u = (a, a, a), e um escalar k in R.
Multiplicando por k:
k cdot u = (k a, k a, k a)
Como k a = k a = k a, o vetor resultante também satisfaz x1 = x2 = x3. Portanto, k cdot u in W.

Resposta

Sim, o conjunto W é um subespaço vetorial de R^3.

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