Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
a) 2, t^2, t, 2 t+3 gera P2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar se o conjunto 2, t^2, t, 2t+3 gera o espaço P2. Esse problema está dentro da área de Álgebra Linear, especificamente lidando com espaços vetoriais de polinômios. Para resolver isso, precisamos verificar se qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses elementos do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “gerar” um espaço vetorial. Um conjunto de vetores (ou, no nosso caso, polinômios) gera um espaço se todo elemento desse espaço puder ser expresso como uma combinação linear dos elementos do conjunto. No caso de P2, qualquer polinômio p(t) = a t^2 + b t + c deve ser expressável como p(t) = alpha cdot 2 + beta cdot t^2 + gamma cdot t + de, onde alpha, beta, gamma, de são constantes reais.

Passo 3

Vamos montar uma equação para verificar se existe uma combinação linear que satisfaça a t^2 + b t + c = alpha cdot 2 + beta cdot t^2 + gamma cdot t + de. Expandindo o lado direito, temos:
a t^2 + b t + c = 2alpha + beta t^2 + gamma t + 2de
Agrupando os termos semelhantes, fica:
a t^2 + b t + c = beta t^2 + (gamma + 2de

Passo 4

Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
beta = a gamma + 2de
Isso nos dá um sistema de equações lineares que precisamos resolver para alpha, beta, gamma, de.

Passo 5

Observamos que temos 3 equações e 4 incógnitas. Isso significa que podemos escolher um valor para uma das incógnitas (por exemplo, de) e resolver as outras em termos dela. Isso indica que sempre existe uma solução para qualquer a, b, c, ou seja, qualquer polinômio em P2 pode ser gerado pelo conjunto dado.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O conjunto 2, t^2, t, 2t+3 gera P2.

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