Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
a) gera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar se o conjunto gera o espaço . Esse problema está dentro da área de Álgebra Linear, especificamente lidando com espaços vetoriais de polinômios. Para resolver isso, precisamos verificar se qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses elementos do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “gerar” um espaço vetorial. Um conjunto de vetores (ou, no nosso caso, polinômios) gera um espaço se todo elemento desse espaço puder ser expresso como uma combinação linear dos elementos do conjunto. No caso de , qualquer polinômio deve ser expressável como , onde são constantes reais.

Passo 3

Vamos montar uma equação para verificar se existe uma combinação linear que satisfaça . Expandindo o lado direito, temos:
Agrupando os termos semelhantes, fica:

Passo 4

Agora, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:

Isso nos dá um sistema de equações lineares que precisamos resolver para .

Passo 5

Observamos que temos 3 equações e 4 incógnitas. Isso significa que podemos escolher um valor para uma das incógnitas (por exemplo, ) e resolver as outras em termos dela. Isso indica que sempre existe uma solução para qualquer , ou seja, qualquer polinômio em pode ser gerado pelo conjunto dado.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O conjunto gera .

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Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de abaixo descritos:
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
b) onde e
Determine quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
a)
O conjunto e com as operações usuais é espaço vetorial?