Determine quais dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
a) W=(x1, x2, x3) in R^3 mid x1+x3=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o conjunto definido por é um subespaço vetorial. Vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais para isso.

Passo 2

Primeiro, lembra que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Ser fechado sob adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um número real, então também deve estar.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: Conter o vetor zero. O vetor zero em x1 + x3 = 0 + 0 = 0 neq 1 é . Vamos ver se ele está em :
Como , o vetor zero não está em .

Passo 4

Já que a primeira condição não é satisfeita, não precisamos verificar as outras. Um subespaço vetorial precisa cumprir todas as três condições, e se uma falha, o conjunto não é subespaço.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial, pois não contém o vetor zero.

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