Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o conjunto
definido por
é um subespaço vetorial. Vamos usar os conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais para isso.
Passo 2
Primeiro, lembra que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Ser fechado sob adição: Se
e estão no conjunto, então também deve estar. - Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um número real, então também deve estar.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Conter o vetor zero. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
Como
, o vetor zero não está em
.
Passo 4
Já que a primeira condição não é satisfeita, não precisamos verificar as outras. Um subespaço vetorial precisa cumprir todas as três condições, e se uma falha, o conjunto não é subespaço.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial, pois não contém o vetor zero.
Exercícios relacionados
Em cada item, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
a) gera
.
a)
Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de
abaixo descritos:
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
c) matrizes em que os elementos da segunda linha é igual aos elementos da terceira coluna.
O conjunto
e
com as operações usuais é espaço vetorial?
Determine quais dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais (Justifique).
b)
b)