Sejam
e
. Escreva
e
utilizando a notação de intervalo e determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar três conjuntos de números reais:
,
e
. A nossa missão é:
- Escrever
e usando a notação de intervalo. - Determinar a expressão
.
Para resolver isso, vamos precisar entender desigualdades, valores absolutos e resolver uma equação com raiz quadrada. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o conjunto
, que é definido por
.
A gente precisa resolver a desigualdade
.
Passo 3
Vamos resolver
:
- Isolamos a desigualdade:
- Dividimos ambos os lados por 4:
- Tiramos a raiz quadrada:
Isso significa que
pode ser menor ou igual a
ou maior ou igual a
.
Passo 4
Então, usando a notação de intervalo, o conjunto
fica:
Passo 5
Agora, vamos para o conjunto
, que é definido por
.
Primeiro, interpretamos a desigualdade com valor absoluto.
Passo 6
A desigualdade
significa que a distância de
até 3 está entre 1 e 4.
Isso se traduz em duas inequações:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 7
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Passo 8
Agora, combinamos essas soluções para encontrar
:
Para
e
, a interseção é
.
Para
e
, a interseção é
.
Passo 9
Então, usando a notação de intervalo, o conjunto
fica:
Passo 10
Agora, vamos encontrar
, que é a interseção dos conjuntos
e
.
Lembrando:
Passo 11
Encontrando
:
- Interseção entre
e é . - Interseção entre
e é . - Interseção entre
e é .
Então,
Passo 12
Agora, vamos analisar o conjunto
, que é definido pela equação
.
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 13
Resolvendo
:
- Isolamos a raiz:
- Elevamos ambos os lados ao quadrado:
- Expandimos o lado direito:
- Rearranjamos tudo para um lado:
- Resolvemos a equação quadrática:
Passo 14
Mas temos que verificar se essas soluções satisfazem a equação original:
-
Para
: Válido. -
Para
: Inválido.
Então,
.
Passo 15
Agora, vamos determinar
.
Sabemos que:
Passo 16
Subtraindo
de
:
Removemos o elemento 6 do conjunto
: