Sejam A = {x ∈ R : 4x² - 1 ≥ 0}, B = {x ∈ R : 1 < |x - 3| < 4} e C = {x em R : 1 + raiz(3x + 7) = x}. Escreva A e B utilizando a notação de intervalo e determine (A ∩ B) - C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar três conjuntos de números reais: , e . A nossa missão é:
  1. Escrever e usando a notação de intervalo.
  2. Determinar a expressão .
Para resolver isso, vamos precisar entender desigualdades, valores absolutos e resolver uma equação com raiz quadrada. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o conjunto , que é definido por .
A gente precisa resolver a desigualdade .

Passo 3

Vamos resolver :
  1. Isolamos a desigualdade:
  2. Dividimos ambos os lados por 4:
  3. Tiramos a raiz quadrada:
Isso significa que pode ser menor ou igual a ou maior ou igual a .

Passo 4

Então, usando a notação de intervalo, o conjunto fica:

Passo 5

Agora, vamos para o conjunto , que é definido por .
Primeiro, interpretamos a desigualdade com valor absoluto.

Passo 6

A desigualdade significa que a distância de até 3 está entre 1 e 4.
Isso se traduz em duas inequações:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 7

Resolvendo :
Resolvendo :

Passo 8

Agora, combinamos essas soluções para encontrar :
Para e , a interseção é .
Para e , a interseção é .

Passo 9

Então, usando a notação de intervalo, o conjunto fica:

Passo 10

Agora, vamos encontrar , que é a interseção dos conjuntos e .
Lembrando:

Passo 11

Encontrando :
  1. Interseção entre e é .
  2. Interseção entre e é .
  3. Interseção entre e é .
Então,

Passo 12

Agora, vamos analisar o conjunto , que é definido pela equação .
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 13

Resolvendo :
  1. Isolamos a raiz:
  2. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
  3. Expandimos o lado direito:
  4. Rearranjamos tudo para um lado:
  5. Resolvemos a equação quadrática:

Passo 14

Mas temos que verificar se essas soluções satisfazem a equação original:
  1. Para :
    Válido.
  2. Para :
    Inválido.
Então, .

Passo 15

Agora, vamos determinar .
Sabemos que:

Passo 16

Subtraindo de :
Removemos o elemento 6 do conjunto :

Resposta

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