Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada:
(b) Z+=x in Z ; x >= 0 ; multiplicação

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto que é Z+ = x in Z ; x >= 0, ou seja, todos os números inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, …). A operação que estamos analisando aqui é a multiplicação. A questão é saber se esse conjunto, com essa operação, forma um grupo. Vamos precisar entender o que é um grupo e verificar se todas as condições para ser um grupo estão satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação que satisfaz quatro propriedades básicas:
  1. Fechamento: Ao aplicar a operação em dois elementos do grupo, o resultado também está no grupo.
  2. Associatividade: A ordem de aplicação da operação não altera o resultado.
  3. Elemento Neutro: Existe um elemento no grupo que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, não muda esse elemento.
  4. Elemento Inverso: Para cada elemento no grupo, existe outro que, quando operados juntos, dão o elemento neutro.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para Z+ com a operação de multiplicação.
1. Fechamento: Se multiplicarmos dois números inteiros não negativos, o resultado sempre será um número inteiro não negativo. Por exemplo, 2 times 3 = 6, que está em Z+. Então, a propriedade de fechamento está satisfeita.
2. Associatividade: A multiplicação é uma operação associativa. Isso significa que (a times b) times c = a times (b times c) para quaisquer a, b, c in Z+. Por exemplo, (2 times 3) times 4 = 6 times 4 = 24 e 2 times (3 times 4) = 2 times 12 = 24. A propriedade de associatividade também está satisfeita.
3. Elemento Neutro: O elemento neutro para a multiplicação é o número 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo. Por exemplo, 5 times 1 = 5. Portanto, existe um elemento neutro em Z+.
4. Elemento Inverso: Aqui é onde temos um problema. Para que Z+ seja um grupo, cada elemento desse conjunto precisa ter um inverso multiplicativo dentro do próprio conjunto. Ou seja, para cada x in Z+, deve existir um y in Z+ tal que x times y = 1. Vamos ver:
  • Para x = 1, o inverso é 1, pois 1 times 1 = 1.
  • Para x = 2, precisaríamos de y = 12, mas 12 não está em Z+.
  • O mesmo vale para qualquer outro número inteiro positivo além de 1.
Então, a propriedade do elemento inverso não é satisfeita para todos os elementos de Z+.

Resposta

Como a propriedade do elemento inverso não é atendida para todos os elementos de Z+, concluímos que Z+ com a operação de multiplicação não forma um grupo.

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