Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada:
(b)
multiplicação
(b)
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto que é
, ou seja, todos os números inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, …). A operação que estamos analisando aqui é a multiplicação. A questão é saber se esse conjunto, com essa operação, forma um grupo. Vamos precisar entender o que é um grupo e verificar se todas as condições para ser um grupo estão satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação que satisfaz quatro propriedades básicas:
- Fechamento: Ao aplicar a operação em dois elementos do grupo, o resultado também está no grupo.
- Associatividade: A ordem de aplicação da operação não altera o resultado.
- Elemento Neutro: Existe um elemento no grupo que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, não muda esse elemento.
- Elemento Inverso: Para cada elemento no grupo, existe outro que, quando operados juntos, dão o elemento neutro.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
com a operação de multiplicação.
1. Fechamento: Se multiplicarmos dois números inteiros não negativos, o resultado sempre será um número inteiro não negativo. Por exemplo,
, que está em
. Então, a propriedade de fechamento está satisfeita.
2. Associatividade: A multiplicação é uma operação associativa. Isso significa que
para quaisquer
. Por exemplo,
e
. A propriedade de associatividade também está satisfeita.
3. Elemento Neutro: O elemento neutro para a multiplicação é o número 1, porque qualquer número multiplicado por 1 permanece o mesmo. Por exemplo,
. Portanto, existe um elemento neutro em
.
4. Elemento Inverso: Aqui é onde temos um problema. Para que
seja um grupo, cada elemento desse conjunto precisa ter um inverso multiplicativo dentro do próprio conjunto. Ou seja, para cada
, deve existir um
tal que
. Vamos ver:
- Para
, o inverso é , pois . - Para
, precisaríamos de , mas não está em . - O mesmo vale para qualquer outro número inteiro positivo além de 1.
Então, a propriedade do elemento inverso não é satisfeita para todos os elementos de
.
Resposta
Como a propriedade do elemento inverso não é atendida para todos os elementos de
, concluímos que
com a operação de multiplicação não forma um grupo.