Prove que
não é um número racional.
Passo 1
Vamos provar que
não é um número racional. Isso pertence ao conteúdo de números racionais e irracionais na matemática. Para resolver, vamos usar uma prova por contradição, que envolve assumir o contrário do que queremos provar e chegar a uma conclusão impossível.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
é um número racional. Isso significa que podemos escrever
como uma fração
, onde
e
são números inteiros e a fração está simplificada, ou seja,
e
não têm divisores comuns além de 1.
Passo 3
Se
, então ao quadrar ambos os lados da equação, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por
Passo 4
A equação
nos mostra que
é um número par, já que é igual a duas vezes outro número inteiro. Sabemos que se o quadrado de um número é par, então o próprio número também é par. Portanto,
deve ser par.
Passo 5
Como
é par, podemos escrevê-lo como
, onde
é um número inteiro. Substituindo na equação
, temos:
Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
Passo 6
A equação
mostra que
também é par, o que significa que
também é par. Portanto, tanto
quanto
são pares.
Passo 7
Mas isso é uma contradição, pois assumimos que a fração
estava na forma mais simples, ou seja, que
e
não tinham divisores comuns além de 1. Se ambos são pares, eles são divisíveis por 2, o que significa que a fração não estava simplificada.
Resposta
Portanto, nossa suposição de que
é um número racional leva a uma contradição. Assim, concluímos que
não é um número racional.