Prove que raiz2 não é um número racional.

Passo 1

Vamos provar que raiz2 não é um número racional. Isso pertence ao conteúdo de números racionais e irracionais na matemática. Para resolver, vamos usar uma prova por contradição, que envolve assumir o contrário do que queremos provar e chegar a uma conclusão impossível.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que raiz2 é um número racional. Isso significa que podemos escrever raiz2 como uma fração ab, onde a e b são números inteiros e a fração está simplificada, ou seja, a e b não têm divisores comuns além de 1.

Passo 3

Se raiz2 = ab, então ao quadrar ambos os lados da equação, obtemos:
2 = a^2b^2
Multiplicando ambos os lados por b^2, ficamos com:
a^2 = 2b^2

Passo 4

A equação a^2 = 2b^2 nos mostra que a^2 é um número par, já que é igual a duas vezes outro número inteiro. Sabemos que se o quadrado de um número é par, então o próprio número também é par. Portanto, a deve ser par.

Passo 5

Como a é par, podemos escrevê-lo como a = 2k, onde k é um número inteiro. Substituindo na equação a^2 = 2b^2, temos:
(2k)^2 = 2b^2
4k^2 = 2b^2
Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
2k^2 = b^2

Passo 6

A equação 2k^2 = b^2 mostra que b^2 também é par, o que significa que b também é par. Portanto, tanto a quanto b são pares.

Passo 7

Mas isso é uma contradição, pois assumimos que a fração ab estava na forma mais simples, ou seja, que a e b não tinham divisores comuns além de 1. Se ambos são pares, eles são divisíveis por 2, o que significa que a fração não estava simplificada.

Resposta

Portanto, nossa suposição de que raiz2 é um número racional leva a uma contradição. Assim, concluímos que raiz2 não é um número racional.

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