Mostre que
munido da operação
definida por
é um grupo abeliano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto dos números reais, tirando o 1/3, com uma operação definida por
, forma um grupo abeliano. Isso envolve entender conceitos de álgebra abstrata, como grupos, e verificar algumas propriedades específicas. Vamos precisar lembrar o que é um grupo, verificar fechamento, associatividade, elemento identidade, inversos e a comutatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o fechamento. Isso significa que, se você pegar quaisquer dois números desse conjunto e aplicar a operação *, o resultado também deve estar no conjunto.
Se
e
são reais diferentes de 1/3, então:
Precisamos garantir que
.
Vamos supor que
:
Rearranjando:
Isso não necessariamente coloca
como 1/3, já que
e
são escolhidos de forma que
. Portanto, o fechamento está garantido.
Passo 3
Agora, vamos ver a associatividade, que diz que a ordem em que aplicamos a operação não altera o resultado:
Calculando
:
Simplificando:
Calculando
:
Simplificando:
Como os resultados são iguais, a operação é associativa.
Passo 4
Vamos encontrar o elemento identidade, que é um número
tal que
para qualquer
.
Aplicando a operação:
Isso implica que:
Como
, temos:
Então, o elemento identidade é 0.
Passo 5
Agora, vamos determinar o inverso de um elemento
. Precisamos encontrar um
tal que:
Usando a operação:
Resolvendo para
:
Então, o inverso de
é
, que também está no conjunto
.
Passo 6
Por último, vamos verificar a comutatividade, ou seja,
.
Calculando:
Como
, a operação é comutativa.
Resposta
Assim, verificamos todas as propriedades necessárias e mostramos que
com a operação
definida por
é de fato um grupo abeliano.