Mostre que R backslash13 munido da operação * definida por x * y=x+y-3 x y é um grupo abeliano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto dos números reais, tirando o 1/3, com uma operação definida por , forma um grupo abeliano. Isso envolve entender conceitos de álgebra abstrata, como grupos, e verificar algumas propriedades específicas. Vamos precisar lembrar o que é um grupo, verificar fechamento, associatividade, elemento identidade, inversos e a comutatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o fechamento. Isso significa que, se você pegar quaisquer dois números desse conjunto e aplicar a operação *, o resultado também deve estar no conjunto.
Se x * y = x + y - 3xy e x + y - 3xy = 13 são reais diferentes de 1/3, então:
3x + 3y - 9xy = 1
Precisamos garantir que .
Vamos supor que :
Rearranjando:
Isso não necessariamente coloca como 1/3, já que e são escolhidos de forma que . Portanto, o fechamento está garantido.

Passo 3

Agora, vamos ver a associatividade, que diz que a ordem em que aplicamos a operação não altera o resultado:
(x * y) * z = x * (y * z)
Calculando (x + y - 3xy) + z - 3(x + y - 3xy)z :
x + y + z - 3xy - 3xz - 3yz + 9xyz
Simplificando:
x + (y + z - 3yz) - 3x(y + z - 3yz)
Calculando x + y + z - 3yz - 3xy - 3xz + 9xyz :
Simplificando:
Como os resultados são iguais, a operação é associativa.

Passo 4

Vamos encontrar o elemento identidade, que é um número x * e = x + e - 3x e = x tal que e - 3x e = 0 para qualquer e(1 - 3x) = 0 .
Aplicando a operação:
e = 0
Isso implica que:
Como , temos:
Então, o elemento identidade é 0.

Passo 5

Agora, vamos determinar o inverso de um elemento x * y = 0 . Precisamos encontrar um x + y - 3xy = 0 tal que:
y(1 - 3x) = -x
Usando a operação:
y = -x1 - 3x = x3x - 1
Resolvendo para :
Então, o inverso de é , que também está no conjunto .

Passo 6

Por último, vamos verificar a comutatividade, ou seja, x * y = x + y - 3xy .
Calculando:
y * x = y + x - 3yx = x + y - 3xy
Como , a operação é comutativa.

Resposta

Assim, verificamos todas as propriedades necessárias e mostramos que com a operação definida por é de fato um grupo abeliano.

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