Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(f) t+1,1+t^2, 1-t+t^2 em P2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto t+1, 1+t^2, 1-t+t^2 é linearmente independente no espaço P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e usar álgebra para testar essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou funções, no caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, para nosso conjunto p1, p2, p3, queremos ver se a equação c1 p1 + c2 p2 + c3 p3 = 0 só tem a solução trivial c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 3

Vamos escrever os polinômios do conjunto:
p1(t) = t + 1 p2(t) = 1 + t^2 p3(t) = 1 - t + t^2
Agora, montamos a combinação linear:
c1(t + 1) + c2(1 + t^2) + c3(1 - t + t^2) = 0
Simplificando essa expressão:
c1 t + c1 + c2 + c2 t^2 + c3 + (-c3 t) + c3 t^2 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(c2 + c3)t^2 + (c1 - c3)t + (c1 + c2 + c3) = 0

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t, os coeficientes dos termos t^2, t e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
c2 + c3 = 0 c1 - c3 = 0 c1 + c2 + c3 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: c2 = -c3.
  2. Da segunda equação: c1 = c3.
  3. Substituindo c1 e c2 na terceira equação:
c3 + (-c3) + c3 = c3 = 0
Então, c3 = 0.
  1. Depois, c1 = c3 = 0 e c2 = -c3 = 0.

Resposta

Como a única solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0, o conjunto t+1, 1+t^2, 1-t+t^2 é linearmente independente em P2.

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