Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(f) em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é linearmente independente no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e usar álgebra para testar essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou funções, no caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, para nosso conjunto , queremos ver se a equação só tem a solução trivial .
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t, os coeficientes dos termos t^2, t e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
c2 + c3 = 0 c1 - c3 = 0 c1 + c2 + c3 = 0
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação: c2 = -c3.
Da segunda equação: c1 = c3.
Substituindo c1 e c2 na terceira equação:
c3 + (-c3) + c3 = c3 = 0
Então, c3 = 0.
Depois, c1 = c3 = 0 e c2 = -c3 = 0.
Resposta
Como a única solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0, o conjunto t+1, 1+t^2, 1-t+t^2 é linearmente independente em P2.