Considere a transformação linear Lbinomxy=[cx-y 2 x-y 4 y+x]. Encontre a matriz de transformação linear, L, em relação as bases A e B, e C e B:
SA=[c 1 -1 ] ;[c -1 0 ] SB=[l 1 2 1 ] ;[c 1 -1 1 ] ;[l 0 1 1 ] SC[c -2 1 ] ;[l 2 2 ] ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases e , e também às bases e . Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar em diferentes bases usando as informações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço para outro, respeitando as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, L x y = x - y 2x - y 4y + x está mapeando vetores de para .
A transformação é dada por:

Passo 3

Para encontrar a matriz de SA = 1 -1 , -1 0 em relação às bases SB = 1 2 1 , 1 -1 1 , 0 1 1 e , precisamos expressar os vetores de na base . Isto envolve encontrar coordenadas relativas que transformam os vetores de uma base para a outra.
A base é:
E a base é:

Passo 4

Vamos calcular 1 -1 aplicado aos vetores de L 1 -1 = 1 - (-1) 2(1) - (-1) 4(-1) + 1 = 2 3 -3 :
Para -1 0 :
L -1 0 = -1 - 0 2(-1) - 0 4(0) + (-1) = -1 -2 -1
Para :

Passo 5

Agora, precisamos expressar esses resultados 2 3 -3 = c1 1 2 1 + c2 1 -1 1 + c3 0 1 1 na base -1 -2 -1 . Isso significa resolver sistemas lineares para encontrar os coeficientes que multiplicam os vetores de para obter .
Vamos achar coordenadas tais que:
E para da mesma forma.

Passo 6

Resolvendo o sistema para 2 3 -3 :
c1 + c2 = 2 2c1 - c2 + c3 = 3 c1 + c2 + c3 = -3
Subtraindo a primeira equação da terceira:
c3 = -3 - 2 = -5
Substituindo 2c1 - c2 -5 = 3 implies 2c1 - c2 = 8 na segunda equação:
c1 + c2 = 2 2c1 - c2 = 8
Agora temos:
3c1 = 10 implies c1 = 103
Somando as duas equações:
c2 = 2 - 103 = -43
E:
Então, as coordenadas são .

Passo 7

Fazendo o mesmo para -1 -2 -1 :
c1 + c2 = -1 2c1 - c2 + c3 = -2 c1 + c2 + c3 = -1
Subtraindo a primeira equação da terceira:
c3 = -1 - (-1) = 0
Substituindo 2c1 - c2 = -2 na segunda equação:
c1 + c2 = -1 2c1 - c2 = -2
Agora temos:
3c1 = -3 implies c1 = -1
Somando as duas equações:
c2 = -1 - (-1) = 0
E:
Então, as coordenadas são .

Passo 8

Agora, organizamos essas coordenadas em colunas para formar a matriz de LSA to SB = 103 & -1 -43 & 0 -5 & 0 em relação às bases e :

Passo 9

Para encontrar a matriz de SC = -2 1 , 2 2 em relação às bases e , precisamos primeiro entender a base :
Vamos aplicar a esses vetores e expressar os resultados na base da mesma forma que fizemos anteriormente.

Passo 10

Aplicando -2 1 aos vetores de L -2 1 = -2 - 1 2(-2) - 1 4(1) + (-2) = -3 -5 2 :
Para 2 2 :
L 2 2 = 2 - 2 2(2) - 2 4(2) + 2 = 0 2 10
Para :

Passo 11

Agora, vamos expressar -3 -5 2 na base c1 + c2 = -3 2c1 - c2 + c3 = -5 c1 + c2 + c3 = 2 .
Primeiro, para c3 = 2 - (-3) = 5 :
2c1 - c2 + 5 = -5 implies 2c1 - c2 = -10
Subtraindo a primeira da terceira:
c1 + c2 = -3 2c1 - c2 = -10
Substituindo 3c1 = -13 implies c1 = -133 na segunda:
c2 = -3 - ( -133 ) = 43
Agora:
Somando:
E:
Então, as coordenadas são .

Passo 12

Agora, para 0 2 10 :
c1 + c2 = 0 2c1 - c2 + c3 = 2 c1 + c2 + c3 = 10
Subtraindo a primeira da terceira:
c3 = 10 - 0 = 10
Substituindo 2c1 - c2 + 10 = 2 implies 2c1 - c2 = -8 na segunda:
c1 + c2 = 0 2c1 - c2 = -8
Agora:
3c1 = -8 implies c1 = -83
Somando:
c2 = -83 - 0 = 83 (corrigindo, já que c1 + c2 =0 Rightarrow c2= 83)
E:
á
Então, as coordenadas são .

Passo 13

Organizando essas coordenadas em colunas para formar a matriz de LSC to SB = -133 & -83 43 & 83 5 & 10 em relação às bases e :

Resposta

A matriz da transformação linear LSA to SB = dfrac103 & -1 -dfrac43 & 0 -5 & 0 em relação às bases LSC to SB = -dfrac133 & -dfrac83 dfrac43 & dfrac83 5 & 10 e é
e em relação às bases e é

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