Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases e , e também às bases e . Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e mudanças de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar em diferentes bases usando as informações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço para outro, respeitando as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, L x y = x - y 2x - y 4y + x está mapeando vetores de para .
A transformação é dada por:
Passo 3
Para encontrar a matriz de SA = 1 -1 , -1 0 em relação às bases SB = 1 2 1 , 1 -1 1 , 0 1 1 e , precisamos expressar os vetores de na base . Isto envolve encontrar coordenadas relativas que transformam os vetores de uma base para a outra.
A base é:
E a base é:
Passo 4
Vamos calcular 1 -1 aplicado aos vetores de L 1 -1 = 1 - (-1) 2(1) - (-1) 4(-1) + 1 = 2 3 -3 :
Para -1 0 :
L -1 0 = -1 - 0 2(-1) - 0 4(0) + (-1) = -1 -2 -1
Para :
Passo 5
Agora, precisamos expressar esses resultados 2 3 -3 = c1 1 2 1 + c2 1 -1 1 + c3 0 1 1 na base -1 -2 -1 . Isso significa resolver sistemas lineares para encontrar os coeficientes que multiplicam os vetores de para obter .
Vamos achar coordenadas tais que:
E para da mesma forma.
Passo 6
Resolvendo o sistema para 2 3 -3 :
c1 + c2 = 2 2c1 - c2 + c3 = 3 c1 + c2 + c3 = -3
Subtraindo a primeira equação da terceira:
c3 = -3 - 2 = -5
Substituindo 2c1 - c2 -5 = 3 implies 2c1 - c2 = 8 na segunda equação:
c1 + c2 = 2 2c1 - c2 = 8
Agora temos:
3c1 = 10 implies c1 = 103
Somando as duas equações:
c2 = 2 - 103 = -43
E:
Então, as coordenadas são .
Passo 7
Fazendo o mesmo para -1 -2 -1 :
c1 + c2 = -1 2c1 - c2 + c3 = -2 c1 + c2 + c3 = -1
Subtraindo a primeira equação da terceira:
c3 = -1 - (-1) = 0
Substituindo 2c1 - c2 = -2 na segunda equação:
c1 + c2 = -1 2c1 - c2 = -2
Agora temos:
3c1 = -3 implies c1 = -1
Somando as duas equações:
c2 = -1 - (-1) = 0
E:
Então, as coordenadas são .
Passo 8
Agora, organizamos essas coordenadas em colunas para formar a matriz de LSA to SB = 103 & -1 -43 & 0 -5 & 0 em relação às bases e :
Passo 9
Para encontrar a matriz de SC = -2 1 , 2 2 em relação às bases e , precisamos primeiro entender a base :
Vamos aplicar a esses vetores e expressar os resultados na base da mesma forma que fizemos anteriormente.
Passo 10
Aplicando -2 1 aos vetores de L -2 1 = -2 - 1 2(-2) - 1 4(1) + (-2) = -3 -5 2 :
c2 = -83 - 0 = 83 (corrigindo, já que c1 + c2 =0 Rightarrow c2= 83)
E:
á
Então, as coordenadas são .
Passo 13
Organizando essas coordenadas em colunas para formar a matriz de LSC to SB = -133 & -83 43 & 83 5 & 10 em relação às bases e :
Resposta
A matriz da transformação linear LSA to SB = dfrac103 & -1 -dfrac43 & 0 -5 & 0 em relação às bases LSC to SB = -dfrac133 & -dfrac83 dfrac43 & dfrac83 5 & 10 e é