Seja
,
. Mostre que não existe um vetor
tal que
para todo
não-nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
com um produto interno
. O exercício pede para mostrar que não existe um vetor
em
tal que
para todo vetor não-nulo
em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de espaços vetoriais e produtos internos, como a definição de ortogonalidade e propriedades dos produtos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. O produto interno mede o “quanto” dois vetores estão alinhados. Se para qualquer
,
, isso implica que
está de alguma forma “permanentemente alinhado” com qualquer vetor
, o que já soa meio estranho. Vamos explorar isso matematicamente.
Passo 3
Vamos assumir, para chegar a uma contradição, que existe tal vetor
em
com
para todo
. Agora, vamos considerar o caso em que
. Substituindo na equação, temos:
Isso significa que
tem norma 1, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos escolher um vetor específico
. Vamos pegar
. Substituindo na equação inicial:
Usando a propriedade do produto interno que permite fatorar escalar:
Sabemos que
, então:
Claro que isso é absurdo!
Passo 5
Chegamos a uma contradição:
, o que não é verdade. Isso significa que nossa suposição inicial de que existe um vetor
que satisfaz
para todo
está errada.
Resposta
Portanto, não existe um vetor
em
tal que
para todo vetor não-nulo
em
.