Seja lang<=, rang<= um produto interno no espaço vetorial Vç. Mostre que não existe um vetor u in V tal que lang<= u, vrang<==1 para todo v in V não-nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial com um produto interno . O exercício pede para mostrar que não existe um vetor em tal que para todo vetor não-nulo em . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de espaços vetoriais e produtos internos, como a definição de ortogonalidade e propriedades dos produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. O produto interno mede o “quanto” dois vetores estão alinhados. Se para qualquer , , isso implica que está de alguma forma “permanentemente alinhado” com qualquer vetor , o que já soa meio estranho. Vamos explorar isso matematicamente.

Passo 3

Vamos assumir, para chegar a uma contradição, que existe tal vetor lang<= u, u rang<= = 1 em com para todo . Agora, vamos considerar o caso em que . Substituindo na equação, temos:
Isso significa que tem norma 1, ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos escolher um vetor específico lang<= u, 2u rang<= = 1 . Vamos pegar 2 lang<= u, u rang<= = 1 . Substituindo na equação inicial:
2 times 1 = 1 Rightarrow 2 = 1
Usando a propriedade do produto interno que permite fatorar escalar:
Sabemos que , então:
Claro que isso é absurdo!

Passo 5

Chegamos a uma contradição: , o que não é verdade. Isso significa que nossa suposição inicial de que existe um vetor que satisfaz para todo está errada.

Resposta

Portanto, não existe um vetor em tal que para todo vetor não-nulo em .

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