Para cada uma das seguintes matrizes simétricas
, encontrar uma matriz ortogonal
, para a qual
seja diagonal:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz simétrica
e precisamos encontrar uma matriz ortogonal
tal que
seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a diagonalização de matrizes simétricas usando matrizes ortogonais. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de
.
Passo 2
O primeiro passo para diagonalizar
é encontrar seus autovalores. Para isso, resolvemos a equação característica
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso resulta na equação
, ou seja,
. Escolhendo
, temos o autovetor
.
Para
:
Resolvemos :
Resolvemos
Isso resulta na equação
, ou seja,
. Escolhendo
, temos o autovetor
.
Passo 6
Agora, precisamos normalizar esses autovetores para garantir que a matriz
seja ortogonal. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo.
Para
:
Para
:
Passo 7
Com os autovetores normalizados, formamos a matriz ortogonal
colocando
e
como colunas:
Passo 8
Finalmente, verificamos que
é diagonal:
Como esperado, a matriz resultante é diagonal.
Resposta
A matriz ortogonal
que diagonaliza
é: