Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para a qual P^t AP seja diagonal:
A=[ll2 & 2 2 & 5]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz simétrica 2 & 2 2 & 5 e precisamos encontrar uma matriz ortogonal tal que seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a diagonalização de matrizes simétricas usando matrizes ortogonais. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de .

Passo 2

O primeiro passo para diagonalizar é encontrar seus autovalores. Para isso, resolvemos a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando o determinante:
det( 2 & 2 2 & 5 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = det 2 - lambda & 2 2 & 5 - lambda = (2 - lambda)(5 - lambda) - (2)(2) = 0
Simplificando:
(2 - lambda)(5 - lambda) - 4 = lambda^2 - 7lambda + 10 - 4 = lambda^2 - 7lambda + 6 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda = 7 pm raiz49 - 242 = 7 pm raiz252 = 7 pm 52 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 7 + 52 = 6 e lambda2 = 7 - 52 = 1
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada 2-6 & 2 2 & 5-6 v1 v2 = -4 & 2 2 & -1 v1 v2 = 0 0 .
Para 1 2 :
Resolvemos 2-1 & 2 2 & 5-1 v1 v2 = 1 & 2 2 & 4 v1 v2 = 0 0 :
-2 1
Isso resulta na equação , ou seja, . Escolhendo , temos o autovetor .
Para :
Resolvemos :
Isso resulta na equação , ou seja, . Escolhendo , temos o autovetor .

Passo 6

Agora, precisamos normalizar esses autovetores para garantir que a matriz 1 2 seja ortogonal. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo.
Para | v1 | = raiz1^2 + 2^2 = raiz5 :
u1 = 1raiz5 1 2
-2 1
Para | v2 | = raiz(-2)^2 + 1^2 = raiz5 :
u2 = 1raiz5 -2 1

Passo 7

Com os autovetores normalizados, formamos a matriz ortogonal P = 1raiz5 1 & -2 2 & 1 colocando e como colunas:

Passo 8

Finalmente, verificamos que P^t A P = 1raiz5 & 2raiz5 -2raiz5 & 1raiz5 2 & 2 2 & 5 1raiz5 1 & -2 2 & 1 = 6 & 0 0 & 1 é diagonal:
Como esperado, a matriz resultante é diagonal.

Resposta

A matriz ortogonal P = 1raiz5 1 & -2 2 & 1 que diagonaliza é:

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