Consider the problem
Let
, and show that
and
where
is the separation constant.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou trata de uma equação diferencial parcial que descreve como uma função
muda no espaço e no tempo. O conteúdo principal aqui é a separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Vamos precisar usar essa ideia para dividir a equação original em duas equações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como
, onde
é uma função que depende apenas de
e
depende apenas de
. Essa suposição nos ajuda a separar as variáveis
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma de
na equação diferencial dada:
Calculando as derivadas, temos:
Substituindo na equação original:
Passo 4
Vamos reescrever essa equação para separar as funções de
e
:
Perceba que o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito apenas de
. Isso só é possível se ambos forem iguais a uma constante, que vamos chamar de
.
Passo 5
Com essa constatação, obtemos duas equações separadas:
Multiplicando a primeira equação por
, temos:
Dividindo por
, fica:
Para simplificar, podemos redefinir
para absorver
, então temos:
Passo 6
Já para a função
, a equação ficou:
Essa é uma equação diferencial ordinária simples que descreve como
muda no tempo.
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições de contorno à função
. A primeira condição é
, o que implica que:
A segunda condição é
. Calculando
:
Substituindo na condição de contorno:
Podemos simplificar dividindo por
(assumindo que
):
Resposta
Assim, mostramos que, assumindo
, obtemos as equações:
e
onde
é a constante de separação.