Consider the problem
alpha^2 ux x & =ut, & 00 u(0, t) & =0, ux(L, t)+gamma u(L, t)=0, & t & >0 u(x, 0) & =f(x), & 0 <= x & <= L
Let u(x, t)=X(x) T(t), and show that
X^prime prime+lambda X=0, X(0)=0, X^prime(L)+gamma X(L)=0
and
T^prime+lambda alpha^2 T=0
where lambda is the separation constant.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou trata de uma equação diferencial parcial que descreve como uma função muda no espaço e no tempo. O conteúdo principal aqui é a separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Vamos precisar usar essa ideia para dividir a equação original em duas equações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como , onde é uma função que depende apenas de e depende apenas de . Essa suposição nos ajuda a separar as variáveis e .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma de alpha^2 uxx = ut na equação diferencial dada:
uxx = X''(x) T(t) e ut = X(x) T'(t)
Calculando as derivadas, temos:
alpha^2 X''(x) T(t) = X(x) T'(t)
Substituindo na equação original:

Passo 4

Vamos reescrever essa equação para separar as funções de alpha^2 X''(x)X(x) = T'(t)T(t) e :
Perceba que o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de . Isso só é possível se ambos forem iguais a uma constante, que vamos chamar de .

Passo 5

Com essa constatação, obtemos duas equações separadas:
alpha^2 X''(x)X(x) = -lambda e T'(t)T(t) = -lambda
Multiplicando a primeira equação por alpha^2 X''(x) + lambda X(x) = 0 , temos:
X''(x) + lambdaalpha^2 X(x) = 0
Dividindo por X''(x) + lambda X(x) = 0 , fica:
Para simplificar, podemos redefinir para absorver , então temos:

Passo 6

Já para a função T'(t) + lambda T(t) = 0 , a equação ficou:
Essa é uma equação diferencial ordinária simples que descreve como muda no tempo.

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições de contorno à função X(0) = 0 . A primeira condição é ux(L, t) = X'(L) T(t) , o que implica que:
X'(L) T(t) + gamma X(L) T(t) = 0
A segunda condição é X'(L) + gamma X(L) = 0 . Calculando :
Substituindo na condição de contorno:
Podemos simplificar dividindo por (assumindo que ):

Resposta

Assim, mostramos que, assumindo X''(x) + lambda X(x) = 0, X(0) = 0, X'(L) + gamma X(L) = 0 , obtemos as equações:
T'(t) + lambda alpha^2 T(t) = 0
e
onde é a constante de separação.

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