Consider the problem
Let , and show that
and
where is the separation constant.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou trata de uma equação diferencial parcial que descreve como uma função muda no espaço e no tempo. O conteúdo principal aqui é a separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação. Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Vamos precisar usar essa ideia para dividir a equação original em duas equações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como , onde é uma função que depende apenas de e depende apenas de . Essa suposição nos ajuda a separar as variáveis e .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma de na equação diferencial dada:
Calculando as derivadas, temos:
Substituindo na equação original:

Passo 4

Vamos reescrever essa equação para separar as funções de e :
Perceba que o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de . Isso só é possível se ambos forem iguais a uma constante, que vamos chamar de .

Passo 5

Com essa constatação, obtemos duas equações separadas:
Multiplicando a primeira equação por , temos:
Dividindo por , fica:
Para simplificar, podemos redefinir para absorver , então temos:

Passo 6

Já para a função , a equação ficou:
Essa é uma equação diferencial ordinária simples que descreve como muda no tempo.

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições de contorno à função . A primeira condição é , o que implica que:
A segunda condição é . Calculando :
Substituindo na condição de contorno:
Podemos simplificar dividindo por (assumindo que ):

Resposta

Assim, mostramos que, assumindo , obtemos as equações:
e
onde é a constante de separação.

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