Let an aluminum rod of length 20 cm be initially at the uniform temperature of
. Suppose that at time
, the end
is cooled to
while the end
is heated to
, and both are thereafter maintained at those temperatures.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor em uma barra de alumínio. O enunciado fala sobre uma barra de 20 cm inicialmente a 25°C. No tempo inicial, uma ponta é resfriada para 0°C e a outra é aquecida para 60°C, e essas temperaturas são mantidas. Vamos usar conceitos de transporte de calor em regime permanente e a equação de condução de calor unidimensional. Precisaremos aplicar a equação de condução de calor sem geração interna de calor e com condições de contorno de temperatura fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar em regime permanente. Isso quer dizer que as temperaturas ao longo da barra não mudam mais com o tempo. Assim, a distribuição de temperatura
depende apenas da posição
na barra.
Passo 3
A equação básica para condução de calor em regime permanente em uma dimensão é dada por:
Isso porque, no regime permanente, a variação temporal desaparece, e não há geração interna de calor.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial
. Integrando uma vez em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Integrando novamente:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições de contorno fornecidas:
-
Na posição
, : -
Na posição
cm, :
Passo 6
Com as constantes determinadas, a expressão da temperatura ao longo da barra fica:
Onde
está em centímetros e
em graus Celsius.
Resposta
A distribuição de temperatura na barra em regime permanente é dada por:
Onde
varia de 0 a 20 cm.
Exercícios relacionados
In each of Problems 1 through 8, find the steady-state solution of the heat conduction equation
that satisfies the given set of boundary conditions.
Consider the problem
If
, let
with
. Show that problem (48) has nontrivial solutions only if
is a solution of the equation
Consider a uniform bar of length
having an initial temperature distribution given by
. Assume that the temperature at the end
is held at
, while the end
is insulated so that no heat passes through it.
Find a formal series expansion for the temperature
Find a formal series expansion for the temperature
that also satisfies the initial condition
.
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent by a Fourier series involving only these functions. See Problem 39 of Section 10.4.
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent
Consider the problem
Let
, and show that
and
where
is the separation constant.