Let an aluminum rod of length 20 cm be initially at the uniform temperature of
. Suppose that at time
, the end
is cooled to
while the end
is heated to
, and both are thereafter maintained at those temperatures.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor em uma barra de alumínio. O enunciado fala sobre uma barra de 20 cm inicialmente a 25°C. No tempo inicial, uma ponta é resfriada para 0°C e a outra é aquecida para 60°C, e essas temperaturas são mantidas. Vamos usar conceitos de transporte de calor em regime permanente e a equação de condução de calor unidimensional. Precisaremos aplicar a equação de condução de calor sem geração interna de calor e com condições de contorno de temperatura fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar em regime permanente. Isso quer dizer que as temperaturas ao longo da barra não mudam mais com o tempo. Assim, a distribuição de temperatura
depende apenas da posição
na barra.
Passo 3
A equação básica para condução de calor em regime permanente em uma dimensão é dada por:
Isso porque, no regime permanente, a variação temporal desaparece, e não há geração interna de calor.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial
. Integrando uma vez em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Integrando novamente:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições de contorno fornecidas:
-
Na posição
, : -
Na posição
cm, :
Passo 6
Com as constantes determinadas, a expressão da temperatura ao longo da barra fica:
Onde
está em centímetros e
em graus Celsius.
Resposta
A distribuição de temperatura na barra em regime permanente é dada por:
Onde
varia de 0 a 20 cm.