Let an aluminum rod of length 20 cm be initially at the uniform temperature of 25 graus C. Suppose that at time t = 0, the end x = 0 is cooled to 0 graus C while the end x = 20 is heated to 60 graus Celsius, and both are thereafter maintained at those temperatures.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor em uma barra de alumínio. O enunciado fala sobre uma barra de 20 cm inicialmente a 25°C. No tempo inicial, uma ponta é resfriada para 0°C e a outra é aquecida para 60°C, e essas temperaturas são mantidas. Vamos usar conceitos de transporte de calor em regime permanente e a equação de condução de calor unidimensional. Precisaremos aplicar a equação de condução de calor sem geração interna de calor e com condições de contorno de temperatura fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar em regime permanente. Isso quer dizer que as temperaturas ao longo da barra não mudam mais com o tempo. Assim, a distribuição de temperatura depende apenas da posição na barra.

Passo 3

A equação básica para condução de calor em regime permanente em uma dimensão é dada por:
Isso porque, no regime permanente, a variação temporal desaparece, e não há geração interna de calor.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial . Integrando uma vez em relação a :
Onde é uma constante de integração.
Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições de contorno fornecidas:
  1. Na posição , :
  2. Na posição cm, :

Passo 6

Com as constantes determinadas, a expressão da temperatura ao longo da barra fica:
Onde está em centímetros e em graus Celsius.

Resposta

A distribuição de temperatura na barra em regime permanente é dada por:
Onde varia de 0 a 20 cm.

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