Let an aluminum rod of length 20 cm be initially at the uniform temperature of . Suppose that at time , the end is cooled to while the end is heated to , and both are thereafter maintained at those temperatures.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor em uma barra de alumínio. O enunciado fala sobre uma barra de 20 cm inicialmente a 25°C. No tempo inicial, uma ponta é resfriada para 0°C e a outra é aquecida para 60°C, e essas temperaturas são mantidas. Vamos usar conceitos de transporte de calor em regime permanente e a equação de condução de calor unidimensional. Precisaremos aplicar a equação de condução de calor sem geração interna de calor e com condições de contorno de temperatura fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar em regime permanente. Isso quer dizer que as temperaturas ao longo da barra não mudam mais com o tempo. Assim, a distribuição de temperatura depende apenas da posição na barra.

Passo 3

A equação básica para condução de calor em regime permanente em uma dimensão é dada por:
Isso porque, no regime permanente, a variação temporal desaparece, e não há geração interna de calor.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial . Integrando uma vez em relação a :
Onde é uma constante de integração.
Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições de contorno fornecidas:
  1. Na posição , :
  2. Na posição cm, :

Passo 6

Com as constantes determinadas, a expressão da temperatura ao longo da barra fica:
Onde está em centímetros e em graus Celsius.

Resposta

A distribuição de temperatura na barra em regime permanente é dada por:
Onde varia de 0 a 20 cm.

Exercícios relacionados

In each of Problems 1 through 8, find the steady-state solution of the heat conduction equation that satisfies the given set of boundary conditions.
Consider the problem
If , let with . Show that problem (48) has nontrivial solutions only if is a solution of the equation
Consider a uniform bar of length having an initial temperature distribution given by . Assume that the temperature at the end is held at , while the end is insulated so that no heat passes through it.
Find a formal series expansion for the temperature
that also satisfies the initial condition .
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent by a Fourier series involving only these functions. See Problem 39 of Section 10.4.
Consider the problem
Let , and show that
and
where is the separation constant.