Consider a uniform bar of length L having an initial temperature distribution given by f(x), 0 <= x <= L. Assume that the temperature at the end x=0 is held at 0^circ C, while the end x=L is insulated so that no heat passes through it.
Find a formal series expansion for the temperature u(x, t)
u(x, t)=sumn=1^infty cn un(x, t)
that also satisfies the initial condition u(x, 0)=f(x).
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent f by a Fourier series involving only these functions. See Problem 39 of Section 10.4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo a distribuição de temperatura ao longo de uma barra uniforme de comprimento . No início, a temperatura varia de acordo com uma função . Uma das pontas da barra ( ) está sempre a , e a outra ponta ( ) está isolada, ou seja, não deixa calor passar por ela. O que a gente precisa fazer é encontrar uma expansão em série formal para a temperatura que satisfaça essas condições iniciais e de contorno. Vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais e séries de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com a Equação do Calor, que descreve como a temperatura partial upartial t = alpha partial^2 upartial x^2 varia ao longo da barra e do tempo. A equação básica é:
Aqui, é a difusividade térmica da barra. Nosso objetivo é resolver essa equação com as condições dadas.

Passo 3

Vamos aplicar o método da separação de variáveis, que assume que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de u(x, t) = X(x)T(t) e outra que depende só de X(x) dTdt = alpha T(t) d^2 Xdx^2 :
1alpha T(t) dTdt = 1X(x) d^2 Xdx^2 = -lambda
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para dTdt + alpha lambda T = 0 :
d^2 Xdx^2 + lambda X = 0
A solução dessa é .
  1. Para :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cujas soluções dependem de .

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno para determinar dXdx|x=L = 0 e as formas das soluções :
  • Em , , então .
  • Em , a barra está isolada, o que significa que não há fluxo de calor através dela. Matematicamente, isso se traduz em:

Passo 6

A solução para Xn(x) = sin((2n-1)pi x2L) que satisfaz e é da forma:
onde é um número inteiro positivo. Note que estamos usando apenas senos ímpares, conforme a dica do exercício.

Passo 7

Agora, combinando un(x, t) = e^-alpha lambdan t sin((2n-1)pi x2L) e , a solução para cada modo é:
com .

Passo 8

A solução geral é uma soma infinita desses modos:
u(x, t) = sumn=1^infty cn e^-alpha ((2n-1)pi2L)^2 t sin((2n-1)pi x2L)
Os coeficientes são determinados a partir da condição inicial .

Passo 9

Para encontrar os coeficientes f(x) = sumn=1^infty cn sin((2n-1)pi x2L) , expandimos a função inicial cn = 2L integral0^L f(x) sin((2n-1)pi x2L) dx em uma série de Fourier com apenas funções senoidais ímpares:
Os coeficientes são dados por:

Resposta

A expansão em série formal para a temperatura u(x, t) = sumn=1^infty cn e^-alpha ((2n-1)pi2L)^2 t sin((2n-1)pi x2L) que satisfaz as condições dadas é:
cn = 2L integral0^L f(x) sin((2n-1)pi x2L) dx
onde os coeficientes são determinados pela série de Fourier da condição inicial :

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