Consider a uniform bar of length having an initial temperature distribution given by . Assume that the temperature at the end is held at , while the end is insulated so that no heat passes through it.
Find a formal series expansion for the temperature
that also satisfies the initial condition .
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent by a Fourier series involving only these functions. See Problem 39 of Section 10.4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo a distribuição de temperatura ao longo de uma barra uniforme de comprimento . No início, a temperatura varia de acordo com uma função . Uma das pontas da barra () está sempre a , e a outra ponta () está isolada, ou seja, não deixa calor passar por ela. O que a gente precisa fazer é encontrar uma expansão em série formal para a temperatura que satisfaça essas condições iniciais e de contorno. Vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais e séries de Fourier para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com a Equação do Calor, que descreve como a temperatura varia ao longo da barra e do tempo. A equação básica é:
Aqui, é a difusividade térmica da barra. Nosso objetivo é resolver essa equação com as condições dadas.
Passo 3
Vamos aplicar o método da separação de variáveis, que assume que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para :
A solução dessa é .
Para :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cujas soluções dependem de .
Passo 5
Vamos aplicar as condições de contorno para determinar e as formas das soluções :
Em , , então .
Em , a barra está isolada, o que significa que não há fluxo de calor através dela. Matematicamente, isso se traduz em:
Passo 6
A solução para Xn(x) = sin((2n-1)pi x2L) que satisfaz e é da forma:
onde é um número inteiro positivo. Note que estamos usando apenas senos ímpares, conforme a dica do exercício.
Passo 7
Agora, combinando un(x, t) = e^-alpha lambdan t sin((2n-1)pi x2L) e , a solução para cada modo é:
com .
Passo 8
A solução geral é uma soma infinita desses modos:
u(x, t) = sumn=1^infty cn e^-alpha ((2n-1)pi2L)^2 t sin((2n-1)pi x2L)
Os coeficientes são determinados a partir da condição inicial .
Passo 9
Para encontrar os coeficientes f(x) = sumn=1^infty cn sin((2n-1)pi x2L) , expandimos a função inicial cn = 2L integral0^L f(x) sin((2n-1)pi x2L) dx em uma série de Fourier com apenas funções senoidais ímpares:
Os coeficientes são dados por:
Resposta
A expansão em série formal para a temperatura u(x, t) = sumn=1^infty cn e^-alpha ((2n-1)pi2L)^2 t sin((2n-1)pi x2L) que satisfaz as condições dadas é:
cn = 2L integral0^L f(x) sin((2n-1)pi x2L) dx
onde os coeficientes são determinados pela série de Fourier da condição inicial :