Consider a uniform bar of length having an initial temperature distribution given by . Assume that the temperature at the end is held at , while the end is insulated so that no heat passes through it.
Find a formal series expansion for the temperature
that also satisfies the initial condition .
Hint: Even though the fundamental solutions involve only the odd sines, it is still possible to represent by a Fourier series involving only these functions. See Problem 39 of Section 10.4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo a distribuição de temperatura ao longo de uma barra uniforme de comprimento . No início, a temperatura varia de acordo com uma função . Uma das pontas da barra ( ) está sempre a , e a outra ponta ( ) está isolada, ou seja, não deixa calor passar por ela. O que a gente precisa fazer é encontrar uma expansão em série formal para a temperatura que satisfaça essas condições iniciais e de contorno. Vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais e séries de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos lidando com a Equação do Calor, que descreve como a temperatura varia ao longo da barra e do tempo. A equação básica é:
Aqui, é a difusividade térmica da barra. Nosso objetivo é resolver essa equação com as condições dadas.

Passo 3

Vamos aplicar o método da separação de variáveis, que assume que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Substituindo na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
A solução dessa é .
  1. Para :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cujas soluções dependem de .

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno para determinar e as formas das soluções :
  • Em , , então .
  • Em , a barra está isolada, o que significa que não há fluxo de calor através dela. Matematicamente, isso se traduz em:

Passo 6

A solução para que satisfaz e é da forma:
onde é um número inteiro positivo. Note que estamos usando apenas senos ímpares, conforme a dica do exercício.

Passo 7

Agora, combinando e , a solução para cada modo é:
com .

Passo 8

A solução geral é uma soma infinita desses modos:
Os coeficientes são determinados a partir da condição inicial .

Passo 9

Para encontrar os coeficientes , expandimos a função inicial em uma série de Fourier com apenas funções senoidais ímpares:
Os coeficientes são dados por:

Resposta

A expansão em série formal para a temperatura que satisfaz as condições dadas é:
onde os coeficientes são determinados pela série de Fourier da condição inicial :

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Let an aluminum rod of length 20 cm be initially at the uniform temperature of . Suppose that at time , the end is cooled to while the end is heated to , and both are thereafter maintained at those temperatures.
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Let , and show that
and
where is the separation constant.
Determine o desconto comercial e o valor atual de um título de , descontado à taxa de ao ano, três meses antes do seu vencimento.