Considera as matrizes A=[ccc1 & 0 & -1 0 & -1 & 2], I=[ll1 & 0 0 & 1], X=[lx y] e B=[l1 2]. Se x e y são soluções do sistema (A A^t-3 I) X=B, então x+y é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de matrizes e sistemas lineares. A gente tem as matrizes , (a identidade), e . A ideia é resolver o sistema para encontrar os valores de e , e depois somar esses dois valores. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^t = 1 & 0 0 & -1 -1 & 2 , ou seja, a matriz A A^t = 1 & 0 & -1 0 & -1 & 2 1 & 0 0 & -1 -1 & 2 multiplicada pela sua transposta A A^t = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 + (-1) cdot (-1) & 1 cdot 0 + 0 cdot (-1) + (-1) cdot 2 0 cdot 1 + (-1) cdot 0 + 2 cdot (-1) & 0 cdot 0 + (-1) cdot (-1) + 2 cdot 2 . A transposta de A A^t = 1 + 0 + 1 & 0 + 0 - 2 0 + 0 - 2 & 0 + 1 + 4 = 2 & -2 -2 & 5 é:
Agora, multiplicamos por :
Fazendo a multiplicação:
Calculando cada elemento:

Passo 3

Agora, vamos calcular I = 1 & 0 0 & 1 . A matriz identidade 3 I = 3 & 0 0 & 3 2x2 é:
A A^t - 3 I = 2 & -2 -2 & 5 - 3 & 0 0 & 3 = 2-3 & -2-0 -2-0 & 5-3 = -1 & -2 -2 & 2
Multiplicando por 3:
Subtraindo de :

Passo 4

Agora temos o sistema:
(A A^t - 3 I) X = B implies -1 & -2 -2 & 2 x y = 1 2
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-1 cdot x - 2 cdot y = 1 -2 cdot x + 2 cdot y = 2

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da adição. Vou usar a adição aqui.
Primeira equação: -2(-2y - 1) + 2y = 2 implies 4y + 2 + 2y = 2 implies 6y + 2 = 2 6y = 0 implies y = 0 x = -2(0) - 1 = -1
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão para :

Resposta

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